Qu'est-ce que « Injective, surjective, bijective » ?

Exemple 1.25 (Calculer une réciproque en pratique)

Soit $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$, $f(x) = \eu^{2x+1}$. Pour l’inverser, résolvons $y = f(x)$ pour un $y > 0$ donné :

chaque étape étant réversible sur les ensembles annoncés. Le calcul livre tout d’un coup : pour chaque $y$ de l’ensemble d’arrivée il y a exactement une solution $x$, donc $f$ est bijective, et

Une vérification rapide des deux composées ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ et $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) confirme le critère du Théorème 1.24. L’idée à retenir : « résoudre en $x$ en surveillant les équivalences » est à la fois la démonstration d’existence, celle d’unicité et la formule — mais cela ne fonctionne que si l’ensemble d’arrivée a été correctement annoncé ($f$ n’est pas surjective sur $\R$).

Exemple 1.27 (Le point (2) est optimal)

Dans la Proposition 1.26 (2), on ne peut pas renforcer les conclusions : $g \circ f$ bijective n’oblige pas $f$ à être surjective ni $g$ à être injective. Prenons $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, avec $f(1) = 1$ et $g(1) = g(2) = 1$ : alors $g \circ f = \mathrm{id}_E$ est bijective, et pourtant $f$ manque l’élément $2$ et $g$ écrase les deux éléments. La morale est une règle de comptabilité précise : l’information de la composée descend vers l’application intérieure pour l’injectivité et vers l’application extérieure pour la surjectivité, jamais dans l’autre sens. (L’Exercice 1.9 construit le même phénomène avec des ensembles infinis, où il est le moteur des inverses d’un seul côté.)

Exemple 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ n’est ni injective ($f(-1) = f(1)$) ni surjective ($-1$ n’a pas d’antécédent). En restreignant l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ est bijective, de réciproque $y \mapsto \sqrt y$. L’injectivité ou la surjectivité d’une application dépend des ensembles de départ et d’arrivée annoncés, et pas seulement de la formule.