Qu'est-ce que « Opérations sur les ensembles » ?

Exemple 1.17 (Se familiariser avec l’ensemble des parties)

Pour $E = \{a, b\}$ :

quatre éléments — et notons la discipline des types : $a \in E$ mais $\{a\} \in \mathcal P(E)$ ; les assertions $a \in \mathcal P(E)$ et $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ sont toutes deux fausses telles qu’elles sont écrites (la seconde exigerait que $a$ soit une partie de $E$). En itérant à partir de rien : $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ a un élément, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ en a deux, le suivant en a quatre — les ensembles d’ensembles sont des ensembles ordinaires, et le Chapitre 2 confirmera le doublement : $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$. Garder les niveaux ($x$, $\{x\}$, $\{\{x\}\}$) bien distincts, c’est déjà la moitié du travail dans des exercices comme les Exercices 1.11 et 1.12.

Exemple 1.27 (Le point (2) est optimal)

Dans la Proposition 1.26 (2), on ne peut pas renforcer les conclusions : $g \circ f$ bijective n’oblige pas $f$ à être surjective ni $g$ à être injective. Prenons $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, avec $f(1) = 1$ et $g(1) = g(2) = 1$ : alors $g \circ f = \mathrm{id}_E$ est bijective, et pourtant $f$ manque l’élément $2$ et $g$ écrase les deux éléments. La morale est une règle de comptabilité précise : l’information de la composée descend vers l’application intérieure pour l’injectivité et vers l’application extérieure pour la surjectivité, jamais dans l’autre sens. (L’Exercice 1.9 construit le même phénomène avec des ensembles infinis, où il est le moteur des inverses d’un seul côté.)

Exemple 1.32

Sur $\Z$, la congruence modulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ lorsque $n$ divise $x - y$) est une relation d’équivalence ; ses classes sont les $n$ ensembles d’entiers ayant un reste donné dans la division par $n$. Cet exemple devient l’anneau $\Z/n\Z$ au Chapitre 7.