Qu'est-ce que « Application, image, image réciproque » ?

Exemple 1.22 (Calculer images et images réciproques)

Soit $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. Alors :

Pour la première : tout $x \in \intcc{-1}2$ vérifie $x^2 \in \intcc04$, et tout $y \in \intcc04$ est atteint sous la forme $y = (\sqrt y)^2$ avec $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — notons que l’image n’est pas $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$ : les images d’intervalles ne se calculent pas à partir des seules extrémités. Pour la deuxième : $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$, ce qui se scinde en deux morceaux. La troisième illustre qu’une image réciproque peut être vide — $f^{-1}(B)$ a toujours un sens, si petite que soit l’intersection de $B$ avec l’image. Observons enfin sur cet exemple le phénomène de stricte inclusion de la remarque précédente : avec $A = \intcc{-1}0$ et $A' = \intcc01$, on a $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$, tandis que $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

Exemple 1.27 (Le point (2) est optimal)

Dans la Proposition 1.26 (2), on ne peut pas renforcer les conclusions : $g \circ f$ bijective n’oblige pas $f$ à être surjective ni $g$ à être injective. Prenons $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, avec $f(1) = 1$ et $g(1) = g(2) = 1$ : alors $g \circ f = \mathrm{id}_E$ est bijective, et pourtant $f$ manque l’élément $2$ et $g$ écrase les deux éléments. La morale est une règle de comptabilité précise : l’information de la composée descend vers l’application intérieure pour l’injectivité et vers l’application extérieure pour la surjectivité, jamais dans l’autre sens. (L’Exercice 1.9 construit le même phénomène avec des ensembles infinis, où il est le moteur des inverses d’un seul côté.)

Exemple 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ n’est ni injective ($f(-1) = f(1)$) ni surjective ($-1$ n’a pas d’antécédent). En restreignant l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ est bijective, de réciproque $y \mapsto \sqrt y$. L’injectivité ou la surjectivité d’une application dépend des ensembles de départ et d’arrivée annoncés, et pas seulement de la formule.