¿Qué es Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva?

Ejemplo 1.25 (Cálculo de una inversa en la práctica)

Sea $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$, $f(x) = \eu^{2x+1}$. Para invertirla se resuelve $y = f(x)$ para un $y > 0$ dado:

siendo cada paso reversible en los dominios anunciados. El cálculo lo entrega todo a la vez: para cada $y$ del codominio hay exactamente una solución $x$, luego $f$ es biyectiva, y

Una comprobación rápida de las dos composiciones ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ y $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) confirma el criterio del Teorema 1.24. La idea clave: «despejar $x$ y vigilar las equivalencias» es a la vez la demostración de existencia, la de unicidad y la fórmula — pero solo funciona si el codominio se anunció correctamente ($f$ no es sobreyectiva sobre $\R$).

Ejemplo 1.27 (El punto (2) no se puede mejorar)

En la Proposición 1.26 (2) no se pueden reforzar las conclusiones: que $g \circ f$ sea biyectiva no obliga a que $f$ sea sobreyectiva ni a que $g$ sea inyectiva. Tómese $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, con $f(1) = 1$ y $g(1) = g(2) = 1$: entonces $g \circ f = \mathrm{id}_E$ es biyectiva, pero $f$ no alcanza el elemento $2$ y $g$ colapsa los dos elementos. La moraleja es una regla de contabilidad precisa: la información sobre la composición pasa a la aplicación interior para la inyectividad y a la exterior para la sobreyectividad, nunca al revés. (El Ejercicio 1.9 construye el mismo fenómeno con conjuntos infinitos, donde es el motor de las inversas laterales.)

Ejemplo 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ no es inyectiva ($f(-1) = f(1)$) ni sobreyectiva ($-1$ no tiene imagen recíproca). Restringiendo el dominio y el codominio, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ sí es biyectiva, con inversa $y \mapsto \sqrt y$. Que una aplicación sea inyectiva o sobreyectiva depende del dominio y del codominio anunciados, no solo de la fórmula.