O que é Injetiva, sobrejetiva, bijetiva?

Exemplo 1.25 (Calculando uma inversa na prática)

Seja $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$, $f(x) = \eu^{2x+1}$. Para inverter, resolva $y = f(x)$ em $x$, para um dado $y > 0$:

sendo cada passo reversível nos domínios anunciados. O cálculo entrega tudo de uma vez: para cada $y$ do contradomínio existe exatamente uma solução $x$, logo $f$ é bijetiva, e

Uma verificação rápida das duas compostas ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ e $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) confirma o critério do Teorema 1.24. A ideia: “resolver em $x$ vigiando as equivalências” é simultaneamente a demonstração da existência, a demonstração da unicidade e a fórmula — mas só funciona se o contradomínio tiver sido anunciado corretamente ($f$ não é sobrejetiva sobre $\R$).

Exemplo 1.27 (O ponto (2) não pode ser reforçado)

Na Proposição 1.26 (2), não se pode reforçar as conclusões: $g \circ f$ bijetiva não obriga $f$ a ser sobrejetiva nem $g$ a ser injetiva. Tome $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, com $f(1) = 1$ e $g(1) = g(2) = 1$: então $g \circ f = \mathrm{id}_E$ é bijetiva e, no entanto, $f$ não atinge o elemento $2$ e $g$ colapsa os dois elementos. A moral é uma regra precisa de escrituração: a informação da composta flui para a aplicação interna no caso da injetividade e para a aplicação externa no caso da sobrejetividade, nunca no sentido contrário. (O Exercício 1.9 constrói o mesmo fenômeno com conjuntos infinitos, onde ele é o motor por trás das inversas unilaterais.)

Exemplo 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ não é injetiva ($f(-1) = f(1)$) nem sobrejetiva ($-1$ não tem pré-imagem). Restringindo o domínio e o contradomínio, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ é bijetiva, com inversa $y \mapsto \sqrt y$. A injetividade ou a sobrejetividade de uma aplicação dependem do domínio e do contradomínio anunciados, e não apenas da fórmula.