विभाज्यता কী?

उदाहरण 6.3 (बार-बार भाग देकर स्थानीय मान पद्धति)

$2026$ को आधार $7$ में लिखिए। $7$ से बार-बार भाग दीजिए और शेषफल रखते जाइए:

शेषफलों को अंतिम से पहले तक पढ़िए: $2026 = (5\,6\,2\,3)_7$। जाँच: $5 \times 343 + 6 \times 49 + 2 \times 7 + 3 = 1715 + 294 + 14 + 3 = 2026$। यूक्लिडीय भाग की अद्वितीयता ही हर अंक को अनिवार्य बनाती है: हर पद पर शेषफल $\intint06$ का एकमात्र ऐसा पूर्णांक है जो वर्तमान मान के $7$ के सापेक्ष सर्वांगसम हो, अतः आधार-$7$ लेखन अद्वितीय है — यही तथ्य चुपचाप तब प्रयुक्त होता है जब सप्ताहांत समस्या “आधार $p$ में $n$ के अंकों” को साधती है।

उदाहरण 6.9 (एक रैखिक डायोफैंटीय समीकरण हल करना)

$6x + 10y = 4$ वाले सभी $(x, y) \in \Z^2$ खोजिए। पहले अस्तित्व की जाँच: $\gcd(6, 10) = 2$ $4$ को विभाजित करता है, अतः हल विद्यमान हैं (यदि महत्तम समापवर्तक दाएँ पक्ष को विभाजित न करता, तो बायाँ पक्ष सदा उसका गुणज होता और कोई हल न होता)। पूरे समीकरण को भाग दीजिए: $3x + 5y = 2$। एक विशिष्ट हल दिखाई देता है: $(x_0, y_0) = (-1, 1)$। व्यापक हल के लिए घटाइए: $3(x + 1) = -5(y - 1)$, अतः $3 \mid 5(y-1)$, और गाउस की प्रमेयिका ($\gcd(3,5) = 1$) $3 \mid y - 1$ देती है: $y = 1 - 3k$, फिर $x = -1 + 5k$। विलोमतः ऐसा हर युग्म काम करता है:

यह प्रतिरूप सामान्य है: एक विशिष्ट हल, और उसके साथ $\bigl(\frac b{\gcd}, -\frac a{\gcd}\bigr)$ के पूर्णांक गुणज — वही “विशिष्ट और समांगी” संरचना जो अध्याय 5 में है, जहाँ अद्वितीयता की भूमिका गाउस की प्रमेयिका निभाती है।