विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Graduação — Ano 1

5रैखिक अवकल समीकरण

अवकल समीकरण पहले उच्चतर माध्यमिक खंड में मिले थे; यहाँ उनका उपचार पूरी उपपत्तियों के साथ और अधिक व्यापकता में है: चर गुणांकों वाले प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण (जिन्हें अचरों के विचरण की विधि पूरी तरह हल कर देती है) और अचर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि के रैखिक समीकरण, जो दोलनों के आदर्श हैं। दोनों स्थितियाँ एक ही संरचना दिखाती हैं: व्यापक हल $=$ एक विशिष्ट हल $+$ समांगी समीकरण का व्यापक हल।

5.1 प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण

परिभाषा 5.1

मान लीजिए $I$ एक अंतराल है और $a, b \colon I \to \R$ (या $\C$ ) संतत है। समीकरण

(E)\colon\quad y' + a(x)\,y = b(x),

अज्ञात अवकलनीय फलन $y \colon I \to \R$ (या $\C$ ) में प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है। समीकरण $(H)\colon y' + a(x) y = 0$ उसका समांगी समीकरण है।

प्रमेय 5.2 (समांगी समीकरण हल करना)

मान लीजिए $A$ $I$ पर $a$ का प्रतिअवकलज है (वह विद्यमान है: अध्याय 15)। $I$ पर $(H)$ के हल ठीक ये फलन हैं

y(x) = \lambda\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R \text{ (या } \C).

उपपत्ति. ये फलन हल हैं: $y' = -\lambda A' \eu^{-A} = -a y$ । विलोमतः, मान लीजिए $y$ $(H)$ को हल करता है और $z(x) = y(x)\, \eu^{A(x)}$ रखिए। तब

z' = y' \eu^{A} + y\, a\, \eu^{A} = (y' + ay)\, \eu^{A} = 0 ,

अतः $z$ अंतराल $I$ पर अचर है, मान लीजिए $z = \lambda$ : $y = \lambda \eu^{-A}$ । (तर्क पर ध्यान दीजिए: कोई हल नहीं छूटता, क्योंकि प्रत्येक हल घोषित रूप में लिखा जा चुका है।) ∎

उदाहरण 5.3 (चर गुणांक वाला समांगी समीकरण)

$\R$ पर $y' + (\cos x)\,y = 0$ हल कीजिए। $a(x) = \cos x$ का एक प्रतिअवकलज $A(x) = \sin x$ है, अतः हल हैं

y(x) = \lambda\,\eu^{-\sin x}, \qquad \lambda \in \R .

दो पाठ। प्रत्येक हल आवर्ती है (आवर्तकाल $2\pi$ ) और $\lambda = 0$ के अतिरिक्त कभी लुप्त नहीं होता — $\lambda$ का चिह्न सदा के लिए $y$ का चिह्न रहता है, क्योंकि चरघातांकी शून्य को पार नहीं कर सकता। और $y(0) = y_0$ से होकर जाने वाला हल $y_0\eu^{-\sin x}$ है: प्रत्येक आरंभिक बिंदु से होकर इस कुल का ठीक एक वक्र, जो प्रमेय 5.4 (2) का एकविमीय चित्र है।

प्रमेय 5.4 (अचरों का विचरण; कोशी समस्या)

ऊपर के संकेतन के साथ:

$I$ पर $(E)$ के हल ठीक ये हैं

$y(x) = \Bigl(\lambda + \int_{x_0}^{x} b(t)\, \eu^{A(t)} \dd t \Bigr)\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R,$

जहाँ $x_0 \in I$ नियत है। समतुल्य रूप से: $(H)$ का व्यापक हल और $(E)$ का एक विशिष्ट हल।
प्रत्येक $x_0 \in I$ और $y_0$ के लिए कोशी समस्या “ $(E)$ और $y(x_0) = y_0$ ” का $I$ पर ठीक एक हल है।

उपपत्ति. (1) अचरों का विचरण नामक विधि के अनुसार $y = \mu(x)\, \eu^{-A(x)}$ रूप के हल खोजिए, जहाँ $\mu$ अवकलनीय है — इससे व्यापकता नहीं खोती, क्योंकि $I$ पर प्रत्येक फलन इस रूप में लिखा जा सकता है ( $\mu = y\,\eu^{A}$ )। प्रतिस्थापित करने पर,

y' + ay = \mu' \eu^{-A} - \mu a \eu^{-A} + a\mu\eu^{-A} = \mu'\, \eu^{-A},

अतः $y$ $(E)$ को हल करता है यदि और केवल यदि $\mu'(x) = b(x)\,\eu^{A(x)}$ , अर्थात् यदि और केवल यदि किसी अचर $\lambda$ के लिए $\mu(x) = \lambda + \int_{x_0}^x b(t)\eu^{A(t)}\dd t$ (अंतराल पर एक ही संतत फलन के दो प्रतिअवकलज अचर से भिन्न होते हैं)।

(2) सूत्र में $y(x_0) = \lambda\,\eu^{-A(x_0)}$ : शर्त $y(x_0) = y_0$ $\lambda = y_0 \eu^{A(x_0)}$ को अद्वितीय रूप से निर्धारित कर देती है। ∎

उदाहरण 5.5

$I = \intoo{0}{+\infty}$ पर $y' + \dfrac{y}{x} = x^2$ हल कीजिए। यहाँ $a(x) = \frac 1x$ , $A(x) = \ln x$ , $\eu^{-A(x)} = \frac 1x$ । समांगी हल: $\frac{\lambda}{x}$ । अचरों का विचरण: $\mu'(x) = x^2 \cdot x = x^3$ , अतः $\mu = \frac{x^4}{4} + \lambda$ , और

y(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{\lambda}{x}, \qquad \lambda \in \R .

आरंभिक शर्त $y(1) = 0$ के साथ: $\lambda = -\frac14$ । जाँच: $y' + \frac yx = \frac{3x^2}{4} - \frac{\lambda}{x^2} + \frac{x^2}{4} + \frac{\lambda}{x^2} = x^2$ ।

उदाहरण 5.6 (अनुमान लगाना समाकलन से अच्छा है)

$\R$ पर $y' + 2x\,y = x$ हल कीजिए। अचरों का विचरण काम करता है ( $A = x^2$ , $\mu' = x\,\eu^{x^2}$ , $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$ ), पर यह देख लेना कि अचर $y_p = \frac12$ समीकरण को हल करता है ( $0 + 2x\cdot\frac12 = x$ ), अधिक तेज़ है। समांगी हलों $\lambda\,\eu^{-x^2}$ के साथ:

y(x) = \frac12 + \lambda\,\eu^{-x^2}, \qquad \lambda \in \R .

जब $x \to \pm\infty$ , तब प्रत्येक हल अत्यंत तेज़ी से $\frac12$ की ओर अभिसरित होता है: अचर विशिष्ट हल एक साम्यावस्था है जिससे सभी हल आ मिलते हैं। सार: सामान्य विधि चलाने से पहले दस सेकंड कोई स्पष्ट विशिष्ट हल (अचर, एकपदी, दाएँ पक्ष का गुणज) ढूँढ़ने में लगाइए; संरचना प्रमेय फिर काम पूरा कर देती है।

टिप्पणी 5.7 (अंतराल महत्त्व रखते हैं)

यह प्रमेय ऐसे अंतराल पर रहती है जहाँ $a$ और $b$ संतत हों। $\R^*$ पर $y' + \frac yx = 0$ के लिए हल $\intoo{0}{+\infty}$ पर $\frac{\lambda}{x}$ और $\intoo{-\infty}{0}$ पर $\frac{\mu}{x}$ हैं, जिनके अचर स्वतंत्र हैं: $0$ की विचित्रता को पार करके एक ही सूत्र के जुड़ने का कोई कारण नहीं है।

उदाहरण 5.8 (सम्मिश्र दायाँ पक्ष, दो वास्तविक उत्तर)

$y' - y = \cos x$ और $y' - y = \sin x$ को एक ही चाल में हल कीजिए। दाएँ पक्ष $\eu^{\iu x}$ के साथ $\C$ में काम कीजिए: $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ आज़माने पर $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$ मिलता है, अतः

c = \frac1{\iu - 1} = \frac{-1 - \iu}2, \qquad y_p = -\frac{(1 + \iu)(\cos x + \iu\sin x)}2 = \frac{\sin x - \cos x}2 + \iu\,\frac{-\sin x - \cos x}2 .

चूँकि समीकरण के गुणांक वास्तविक हैं, वास्तविक और काल्पनिक भाग अलग हो जाते हैं: $\frac{\sin x - \cos x}2$ $y' - y = \cos x$ को हल करता है, और $-\frac{\sin x + \cos x}2$ $y' - y = \sin x$ को (पहले की जाँच: अवकलज $\frac{\cos x + \sin x}2$ , में से फलन घटाने पर $\cos x$ मिलता है)। एक सम्मिश्र पंक्ति ने अचरों के विचरण की दो दौड़ों की जगह ले ली — वही मितव्ययिता जिसे विधि 5.13 द्वितीय कोटि के लिए व्यवस्थित करता है, और अध्याय 3 का बार-बार मिलने वाला लाभांश।

5.2 अचर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि के रैखिक समीकरण

परिभाषा 5.9

मान लीजिए $a, b \in \R$ और $f \colon I \to \R$ संतत है। समीकरण

(E)\colon\quad y'' + a\,y' + b\,y = f(x)

अचर गुणांकों वाला द्वितीय कोटि का रैखिक समीकरण कहलाता है; $(H)\colon y'' + ay' + by = 0$ उसका समांगी समीकरण है, और $\chi(r) = r^2 + ar + b$ उसका अभिलक्षणिक बहुपद।

प्रमेय 5.10 (समांगी हल)

मान लीजिए $\Delta = a^2 - 4b$ $\chi$ का विविक्तकर है। $\R$ पर $(H)$ के वास्तविक हल ये हैं:

यदि $\Delta > 0$ , तो दो वास्तविक मूलों $r_1 \neq r_2$ के साथ: $\;y = \lambda\, \eu^{r_1 x} + \mu\, \eu^{r_2 x}$ ;
यदि $\Delta = 0$ , तो द्विक मूल $r_0$ के साथ: $\;y = (\lambda + \mu x)\, \eu^{r_0 x}$ ;
यदि $\Delta < 0$ , तो मूलों $\alpha \pm \iu\omega$ ( $\omega > 0$ ) के साथ: $\;y = \eu^{\alpha x} (\lambda \cos\omega x + \mu \sin\omega x)$ ;

और हर स्थिति में $(\lambda, \mu)$ $\R^2$ पर चलते हैं।

उपपत्ति. पहले यह देखिए कि $r \in \C$ के लिए $x \mapsto \eu^{rx}$ $(H)$ को हल करता है यदि और केवल यदि $\chi(r) = 0$ (प्रतिस्थापित कीजिए: $(r^2 + ar + b)\eu^{rx} = 0$ )। इसीलिए चरघातांकी स्वाभाविक पहला अनुमान हैं: अवकलन $\eu^{rx}$ पर संख्या $r$ से गुणन की भाँति काम करता है, अतः अवकल समीकरण संख्यात्मक समीकरण $\chi(r) = 0$ बन जाता है — पूरी विश्लेषणात्मक समस्या एक ही द्विघात के मूल खोजने में सिमट जाती है।

मुख्य पद अज्ञात का ऐसा परिवर्तन है जो कोटि घटा देता है। मान लीजिए $r$ $\chi$ का (संभवतः सम्मिश्र) मूल है और $y = z\, \eu^{rx}$ लिखिए, जिससे व्यापकता नहीं खोती। तब

y'' + ay' + by = \bigl(z'' + (2r + a) z' + \chi(r) z\bigr)\eu^{rx} = \bigl(z'' + (2r + a) z'\bigr)\eu^{rx},

अतः $(H)$ $u = z'$ के लिए प्रथम कोटि का समीकरण $u' + (2r + a) u = 0$ बन जाता है।

स्थिति $\Delta \neq 0$ : $r = r_1$ चुनिए; तब $2r_1 + a = r_1 - r_2$ (क्योंकि $r_1 + r_2 = -a$ )। प्रमेय 5.2 से, किसी अचर $c$ के लिए $z' = c\,\eu^{(r_2 - r_1)x}$ ; $\R$ पर समाकलन करने पर $\mu = \frac{c}{r_2 - r_1}$ के साथ $z = \mu\, \eu^{(r_2 - r_1)x} + \lambda$ , और इसलिए $y = z\, \eu^{r_1 x} = \lambda\,\eu^{r_1x} + \mu\,\eu^{r_2x}$ । जब $\Delta < 0$ , तब मूल $\alpha \pm \iu\omega$ हैं और सम्मिश्र हल $c_1, c_2 \in \C$ के साथ $y = c_1\eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + c_2\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ हैं। इनमें से कौन वास्तविक-मान वाले हैं? चूँकि $\conj{\eu^{(\alpha+\iu\omega)x}} = \eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ , $y$ का संयुग्मी $\conj{c_2}\, \eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + \conj{c_1}\,\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ है, और सभी $x$ के लिए $y = \conj y$ $c_2 = \conj{c_1}$ पर बाध्य कर देता है (दोनों चरघातांकी रैखिकतः स्वतंत्र हैं: दो बिंदुओं पर मान लीजिए, अथवा $\eu^{\alpha x}$ से भाग देकर $x=0$ पर तुलना कीजिए)। वास्तविक $\lambda, \mu$ के साथ $c_1 = \frac{\lambda - \iu\mu}2$ लिखने पर:

y = 2\,\Re\Bigl(c_1\,\eu^{\alpha x}(\cos\omega x + \iu\sin\omega x)\Bigr) = \eu^{\alpha x}\bigl(\lambda\cos\omega x + \mu\sin\omega x\bigr),

और विलोमतः ऐसा हर फलन एक हल है (वास्तविक समीकरण के सम्मिश्र हल का वास्तविक भाग): अतः वास्तविक हल-समष्टि वही है जो घोषित की गई थी।

स्थिति $\Delta = 0$ : $r = r_0$ , $2r_0 + a = 0$ , अतः $z'' = 0$ : $z = \lambda + \mu x$ और $y = (\lambda + \mu x)\eu^{r_0 x}$ । ∎

उदाहरण 5.11 (एक कोशी समस्या, आरंभ से अंत तक)

$y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ के साथ $y'' - 3y' + 2y = 0$ हल कीजिए। अभिलक्षणिक बहुपद $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ के वास्तविक मूल $1$ और $2$ हैं: व्यापक हल $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$ । दोनों शर्तें रैखिक निकाय देती हैं

\lambda + \mu = 0, \qquad \lambda + 2\mu = 1 ,

अतः $\mu = 1$ , $\lambda = -1$ :

y(x) = \eu^{2x} - \eu^{x} .

जाँच: $y(0) = 0$ ; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ के लिए $y'(0) = 1$ ; और $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$ । उत्तर के आकार पर ध्यान दीजिए: $-\infty$ के पास धीमी विधा $-\eu^x$ प्रभावी है; $+\infty$ के पास तेज़ विधा $\eu^{2x}$ । हलों को भिन्न क्षय या वृद्धि दरों वाली विधाओं के अध्यारोपण के रूप में पढ़ना लाभदायक आदत है — सप्ताहांत समस्या का क्षणिक/स्थायी विभाजन इसी प्रकार सँभाला गया है।

क्षयशील हलों वाले y'' + ay' + by = 0 की तीन अवस्थाएँ: अवमंदित दोलन (सम्मिश्र मूल), क्रांतिक वापसी (द्विक मूल), अति-अवमंदित क्षय (दो वास्तविक मूल)। कौन-सी अवस्था होगी, यह केवल = a2 - 4b के चिह्न से पढ़ ली जाती है — कुछ भी हल करने से पहले। — क्षयशील हलों वाले $y'' + ay' + by = 0$ की तीन अवस्थाएँ: अवमंदित दोलन (सम्मिश्र मूल), क्रांतिक वापसी (द्विक मूल), अति-अवमंदित क्षय (दो वास्तविक मूल)। कौन-सी अवस्था होगी, यह केवल $\Delta = a^2 - 4b$ के चिह्न से पढ़ ली जाती है — कुछ भी हल करने से पहले।

प्रमेय 5.12 (संरचना और कोशी समस्या)

यदि $y_p$ $(E)$ का एक विशिष्ट हल है, तो $(E)$ के हल ठीक $y_p + y_h$ हैं, जहाँ $y_h$ $(H)$ के हलों पर चलता है।
(अध्यारोपण) यदि $y_1$ $y'' + ay' + by = f_1$ को हल करता है और $y_2$ $y'' + ay' + by = f_2$ को, तो $y_1 + y_2$ दाएँ पक्ष $f_1 + f_2$ वाले समीकरण को हल करता है।
सभी $x_0 \in I$ और $(y_0, y_0')$ के लिए कोशी समस्या “ $(E)$ , $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = y_0'$ ” का $I$ पर ठीक एक हल है। (अस्तित्व, एक विशिष्ट हल मान लेने पर; अद्वितीयता पूरी तरह।)

उपपत्ति. (1) $y \mapsto y'' + ay' + by$ की रैखिकता से $y$ $(E)$ को हल करता है यदि और केवल यदि $y - y_p$ $(H)$ को हल करता है। (2) वही रैखिकता है।

(3) (1) से यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि अचर $(\lambda, \mu)$ किसी भी आँकड़े $(y_0, y_0')$ के अनुसार सदा, और अद्वितीय रूप से, समायोजित किए जा सकते हैं। चर का स्थानांतरण करके $x_0 = 0$ मान लीजिए। प्रमेय 5.10 की स्थिति (1) में $y = \lambda\eu^{r_1x} + \mu\eu^{r_2x}$ देता है

y(0) = \lambda + \mu, \qquad y'(0) = r_1\lambda + r_2\mu :

जो $(\lambda, \mu)$ में ऐसा रैखिक निकाय है जिसका सारणिक $r_2 - r_1 \neq 0$ है; उसे स्पष्ट रूप से हल करने पर $\mu = \frac{y_0' - r_1y_0}{r_2 - r_1}$ और $\lambda = y_0 - \mu$ : ठीक एक हल। स्थिति (2) में $y(0) = \lambda$ और $y'(0) = r_0\lambda + \mu$ : निकाय त्रिभुजीय है जिसका सारणिक $1$ है, और $\lambda = y_0$ , $\mu = y_0' - r_0y_0$ से हल हो जाता है। स्थिति (3) में $y(0) = \lambda$ और $y'(0) = \alpha\lambda + \omega\mu$ : सारणिक $\omega \neq 0$ , और $\lambda = y_0$ , $\mu = \frac{y_0' - \alpha y_0}\omega$ से हल। हर स्थिति में प्रतिचित्रण $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ एक रैखिक एकैकी आच्छादन है — अध्याय 20 की भाषा इस स्थिति-दर-स्थिति जाँच को एक वाक्य में सिकोड़ देगी। ∎

विधि 5.13 ( $f(x) = P(x)\,\eu^{\gamma x}$ के लिए विशिष्ट हल)

जब दायाँ पक्ष $P(x)\,\eu^{\gamma x}$ हो, जहाँ $P$ बहुपद है और $\gamma \in \R$ (यह बहुपदों, चरघातांकियों और सम्मिश्र $\gamma$ या अध्यारोपण के द्वारा $\cos$ तथा $\sin$ को समेट लेता है), तब इस रूप का विशिष्ट हल खोजिए

y_p(x) = x^{m}\, Q(x)\, \eu^{\gamma x}, \qquad m = \text{बहुपद } \chi \text{ के मूल के रूप में } \gamma \text{ की बहुलता} \ (m = 0, 1 \text{ या } 2),

जहाँ $Q$ $P$ के समान घात का बहुपद है, जिसके गुणांक प्रतिस्थापन और पहचान से मिलते हैं। $f = K\cos\omega x$ (या $\sin$ ) के लिए दाएँ पक्ष $K\eu^{\iu\omega x}$ के साथ हल कीजिए और वास्तविक (क्रमशः काल्पनिक) भाग लीजिए।

उदाहरण 5.14 (अध्यारोपण काम पर)

$\R$ पर $y'' - y = \eu^{x} + 4$ हल कीजिए। समांगी: $\chi(r) = r^2 - 1$ , मूल $\pm1$ , अतः $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$ । दाएँ पक्ष को तोड़िए और हर टुकड़े का उपचार विधि-बॉक्स से कीजिए। टुकड़ा $\eu^x$ : यहाँ $\gamma = 1$ $\chi$ का सरल मूल है, अतः $y_1 = c\,x\,\eu^x$ आज़माइए: तब $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$ , जिससे $c = \frac12$ मिलता है। टुकड़ा $4$ : $\gamma = 0$ मूल नहीं है; अचर $y_2 = -4$ काम करता है। अध्यारोपण (प्रमेय 5.12 (2)) से:

y = \frac{x\,\eu^x}2 - 4 + \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .

ध्यान दीजिए कि दोनों टुकड़ों ने भिन्न आकार माँगे ( $m = 1$ बनाम $m = 0$ ): बहुलता की जाँच प्रत्येक घातांक पर अलग-अलग लगती है, और अनुमान लगाने से पहले दाएँ पक्ष को तोड़ने का यही पूरा प्रयोजन है।

उदाहरण 5.15 (बहुलता का नियम काम पर)

$\R$ पर $y'' + y' = x$ हल कीजिए। दायाँ पक्ष $P(x) = x$ के साथ $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ है, और $\gamma = 0$ $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$ का सरल मूल है: अतः $m = 1$ , और सही अनुमान $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$ है, जो $P$ से एक घात ऊपर है। प्रतिस्थापित करने पर:

y_p'' + y_p' = 2\alpha + (2\alpha x + \beta) = 2\alpha x + (2\alpha + \beta) ,

और $x$ से पहचान करने पर $\alpha = \frac12$ , $\beta = -1$ मिलते हैं: $y_p = \frac{x^2}2 - x$ । व्यापक हल: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$ । यदि हमने $y_p = \alpha x + \beta$ का अनुमान लगाया होता (बहुलता की उपेक्षा करके), तो प्रतिस्थापन $y_p'' + y_p' = \alpha$ देता, जो अचर है — $\alpha, \beta$ का कोई चयन $x$ से मेल नहीं खा सकता, और यह विफलता संरचनात्मक है: अचर तो पहले से ही समांगी समीकरण को हल करते हैं, अतः वे बाएँ पक्ष के लिए अदृश्य हैं। गुणनखंड $x^m$ ठीक इसीलिए है कि समांगी हल-समष्टि से बाहर निकला जा सके।

टिप्पणी 5.16 (तीस सेकंड की बीमा-पॉलिसी)

इस अध्याय का हर हल किया गया समीकरण प्रतिस्थापन की जाँच पर समाप्त होता है, और यह सजावट नहीं है। अवकल समीकरण की संगणना अनेक छोटे पदों को जोड़ती है (एक प्रतिअवकलज, एक गुणनफल नियम, दो अचर), और एक ही चिह्न की भूल अदृश्य रूप से आगे बढ़ती जाती है; अंतिम सूत्र को समीकरण में वापस रखने पर एक अवकलन के मूल्य पर लगभग सारी भूलें पकड़ में आ जाती हैं। यह प्रतिवर्त तीन परतों में विकसित कीजिए: अकेले विशिष्ट हल की जाँच कीजिए (समांगी भाग तो वैसे भी कट जाता है), पूरे हल पर आरंभिक शर्तों की जाँच कीजिए, और जब कोई प्राचल हो तब किसी अपकर्षी मान की जाँच कीजिए (क्या व्यापक $\Omega$ का सूत्र $\Omega = 0$ पर ज्ञात उत्तर दुबारा दे देता है?)। इस आदत की कीमत आधा मिनट है; और वह “शायद ठीक” को “सत्यापित” में बदल देती है।

टिप्पणी 5.17 (सामान्य भूलें)

पहले मानकीकरण कीजिए। सूत्र मानकर चलते हैं कि समीकरण $y' + a(x)y = b(x)$ है — $y'$ पर गुणांक $1$ के साथ। $xy' - 2y = x^3$ के लिए $a$ और $b$ की पहचान करने से पहले $x$ से भाग दीजिए ( $0$ से बचने वाले अंतराल पर), जैसा अभ्यास 5.2 में है।
प्रति विमा एक अचर, और वह अंत में नियत। प्रथम कोटि का व्यापक हल एक अचर रखता है, द्वितीय कोटि का दो; आरंभिक शर्तें पूरे हल $y_p + y_h$ पर लगाई जाती हैं, कभी अकेले $y_h$ पर नहीं — $y_p$ जोड़ने से पहले उन्हें लगा देना सबसे बार-बार होने वाली संरचनात्मक भूल है।
बहुलता का ध्यान रखिए। जो विशिष्ट-हल अनुमान समांगी समीकरण को हल करता हो, वह बाएँ पक्ष के लिए अदृश्य है; विधि 5.13 का गुणनखंड $x^m$ वैकल्पिक नहीं है (उदाहरण 5.15)।
अंतराल उत्तर का हिस्सा हैं। हल उन्हीं अंतरालों पर रहते हैं जहाँ गुणांक संतत हों; किसी विचित्रता को पार करके जोड़ने से मिथ्या अचर बन सकते हैं (अभ्यास 5.12) या अद्वितीयता नष्ट हो सकती है। “ $\R^*$ पर हल कीजिए” का अर्थ है दो स्वतंत्र समस्याएँ।

उदाहरण 5.18 (अनुनाद से हटकर प्रणोदन)

$\R$ पर $y'' + 4y = \sin x$ हल कीजिए। स्वाभाविक आवृत्ति $2$ , प्रणोदन आवृत्ति $1$ : चूँकि $\iu$ $\chi(r) = r^2 + 4$ का मूल नहीं है, बहुलता $m = 0$ है और एक सादा ज्यावक्रीय फलन पर्याप्त है। $y_p = \alpha\sin x$ आज़माइए (कोज्या की आवश्यकता नहीं: समीकरण में $y'$ वाला पद नहीं है, और $\sin$ $\sin$ को फिर से उत्पन्न कर देता है):

y_p'' + 4y_p = -\alpha\sin x + 4\alpha\sin x = 3\alpha\sin x ,

अतः $\alpha = \frac13$ और व्यापक हल है

y = \frac{\sin x}3 + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .

प्रत्येक हल परिबद्ध रहता है: आवृत्तियों $1$ (प्रणोदित) और $2$ (स्वाभाविक) के दो दोलनों का अध्यारोपण। अगले उदाहरण से तुलना कीजिए, जहाँ स्वाभाविक आवृत्ति पर प्रणोदन उत्तर का आकार ही बदल देता है।

उदाहरण 5.19 (एक प्रणोदित दोलन)

$y'' + y = \cos x$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 0$ हल कीजिए।

समांगी: $\chi(r) = r^2 + 1$ , मूल $\pm\iu$ : $y_h = \lambda\cos x + \mu \sin x$ ।

विशिष्ट: दायाँ पक्ष $\Re(\eu^{\iu x})$ है, जहाँ $\gamma = \iu$ $\chi$ का सरल मूल है: $z_p = c\, x\, \eu^{\iu x}$ आज़माइए ( $c \in \C$ )। तब $z_p'' + z_p = c\,(2\iu)\eu^{\iu x}$ , जो $c = \frac{1}{2\iu} = -\frac\iu2$ के लिए $\eu^{\iu x}$ के बराबर है। अतः $z_p = -\frac{\iu}{2} x (\cos x + \iu \sin x)$ और $y_p = \Re(z_p) = \frac{x \sin x}{2}$ ।

व्यापक हल: $y = \frac{x\sin x}{2} + \lambda\cos x + \mu\sin x$ । शर्तें: $y(0) = \lambda = 0$ ; $y' = \frac{\sin x + x\cos x}{2} + \mu\cos x$ , अतः $y'(0) = \mu = 0$ । उत्तर: $y = \frac{x\sin x}{2}$ — ऐसा दोलन जिसका आयाम रैखिक रूप से बढ़ता है: यही अनुनाद की परिघटना है, जो निकाय को उसकी स्वाभाविक आवृत्ति पर प्रणोदित करने से होती है।

अनुनाद: y'' + y = x का हल y = x x/2 रेखाओं y = ± x2 (बिंदुकित) के बीच, निरंतर बढ़ते आयाम के साथ दोलन करता है। — अनुनाद: $y'' + y = \cos x$ का हल $y = \frac{x \sin x}{2}$ रेखाओं $y = \pm\frac x2$ (बिंदुकित) के बीच, निरंतर बढ़ते आयाम के साथ दोलन करता है।

टिप्पणी 5.20 (मध्यांतर: रैखिकता एक ज्यामिति है)

इस अध्याय के हर हल-समुच्चय के आकार पर फिर दृष्टि डालिए: एक विशेष हल, और उसके साथ समांगी हलों की ऐसी समष्टि जिसमें एक मुक्त अचर (प्रथम कोटि) या दो (द्वितीय कोटि) हैं। रैखिक बीजगणित के अध्याय (अध्याय 18, 19 और 20) ठीक-ठीक शब्दावली देंगे: प्रतिचित्रण $L(y) = y'' + ay' + by$ रैखिक है, उसके समांगी हल $L$ की अष्टि बनाते हैं, जो ऐसी सदिश समष्टि है जिसकी विमा समीकरण की कोटि के बराबर है — “प्रति कोटि एक अचर” की ईमानदार सामग्री यही है — और $L(y) = f$ का हल-समुच्चय एक ऐफ़ीन उपसमष्टि है, अर्थात् अष्टि का स्थानांतरण। यहाँ तक कि प्रमेय 5.12 का कोशी प्रतिचित्रण $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ भी दो समतलों के बीच रैखिक एकैकी आच्छादन है, अर्थात् एक व्युत्क्रमणीय $2 \times 2$ निकाय (अध्याय 21)। इस अध्याय में कुछ भी दोबारा करने की आवश्यकता नहीं होगी — केवल उसका नाम बदलना होगा, और यह नामकरण रैखिक बीजगणित के लिए सर्वोत्तम संभव तैयारी है: वहाँ की हर अमूर्त परिभाषा यहाँ पहले ही अपनी रोटी कमा चुकी है।

टिप्पणी 5.21 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

संरचना प्रमेय — $(E)$ के हल “एक विशिष्ट हल और $(H)$ के हल” बनाते हैं — उस प्रतिरूप की पहली उपस्थिति है जिसे अध्याय 18 और 20 नाम देगा: $(H)$ का हल-समुच्चय रैखिक प्रतिचित्रण $y \mapsto y'' + ay' + by$ की अष्टि है, और $(E)$ का हल-समुच्चय उसका ऐफ़ीन स्थानांतरण। अभिलक्षणिक बहुपद अध्याय 21 में आव्यूह के अभिलक्षणिक बहुपद के रूप में फिर प्रकट होता है: द्वितीय कोटि का समीकरण वेश बदला हुआ $2 \times 2$ प्रथम कोटि का निकाय है, और स्नातक वर्ष 2 का खंड इस दृष्टिकोण को व्यवस्थित करता है। अचरों के विचरण की माँगी हुई समाकलों की आपूर्ति अध्याय 15 करता है, और नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या — प्रणोदित अवमंदित दोलक — विज्ञानों के हर दोलन-प्रश्न का आदर्श स्थिति है, परिपथों से लेकर झूलते पुलों तक।

5.3 अभ्यास

अभ्यास 5.1 ★

$\R$ पर हल कीजिए: $\;y' + 2y = \eu^{3x}$ ; फिर कोशी समस्या $y(0) = 1$ ।

हल

हल — अभ्यास 5.1.

समांगी: $y_h = \lambda\,\eu^{-2x}$ । विशिष्ट: $y_p = c\,\eu^{3x}$ आज़माइए ( $3$ $r + 2$ का मूल नहीं है): $3c + 2c = 1$ , $c = \frac15$ । व्यापक हल: $y = \frac{\eu^{3x}}{5} + \lambda\,\eu^{-2x}$ । $y(0) = 1$ के साथ: $\frac15 + \lambda = 1$ , $\lambda = \frac45$ , अतः $y = \frac{\eu^{3x} + 4\,\eu^{-2x}}{5}$ ।

अभ्यास 5.2 ★

$\intoo{0}{+\infty}$ पर हल कीजिए: $\;x y' - 2y = x^3$ (पहले समीकरण को मानकीकृत रूप में रखिए)।

हल

हल — अभ्यास 5.2.

$\intoo{0}{+\infty}$ पर $x$ से भाग दीजिए: $y' - \frac{2}{x}\,y = x^2$ । यहाँ $A(x) = -2\ln x$ , $\eu^{-A(x)} = x^2$ : समांगी हल $\lambda x^2$ । अचरों का विचरण: $\mu'(x) = x^2 \cdot x^{-2} = 1$ , अतः $\mu = x + \lambda$ और

y(x) = x^3 + \lambda x^2, \qquad \lambda \in \R .

जाँच: $x(3x^2 + 2\lambda x) - 2(x^3 + \lambda x^2) = x^3$ ।

अभ्यास 5.3 ★

$\R$ पर वास्तविक व्यापक हल देते हुए हल कीजिए: $\;y'' - 3y' + 2y = 0$ ; $\;y'' + 4y' + 4y = 0$ ; $\;y'' - 2y' + 5y = 0$ ।

हल

हल — अभ्यास 5.3.

$y'' - 3y' + 2y = 0$ : मूल $1$ और $2$ ; $\;y = \lambda\,\eu^{x} + \mu\,\eu^{2x}$ ।

$y'' + 4y' + 4y = 0$ : द्विक मूल $-2$ ; $\;y = (\lambda + \mu x)\,\eu^{-2x}$ ।

$y'' - 2y' + 5y = 0$ : मूल $1 \pm 2\iu$ ; $\;y = \eu^{x}(\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x)$ ।

अभ्यास 5.4 ★

$\R$ पर $y'' - y = x^2$ हल कीजिए, फिर कोशी समस्या $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ ।

हल

हल — अभ्यास 5.4.

समांगी: मूल $\pm 1$ , $y_h = \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}$ । बहुपदीय दाएँ पक्ष के साथ विशिष्ट ( $\gamma = 0$ मूल नहीं है): $y_p = ax^2 + bx + c$ ; प्रतिस्थापित करने पर $2a - (ax^2 + bx + c) = x^2$ से $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 2a = -2$ मिलते हैं: $y_p = -x^2 - 2$ । व्यापक हल $y = -x^2 - 2 + \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$ ।

कोशी: $y(0) = -2 + \lambda + \mu = 0$ और $y'(0) = \lambda - \mu = 1$ : $\lambda = \frac32$ , $\mu = \frac12$ । अतः $y = -x^2 - 2 + \frac{3\eu^x + \eu^{-x}}{2}$ ।

अभ्यास 5.5 ★★

$\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर हल कीजिए: $\;y' + y\tan x = \sin 2x$ ।

हल

हल — अभ्यास 5.5.

$a(x) = \tan x$ , $A(x) = -\ln(\cos x)$ (वैध: अंतराल पर $\cos > 0$ ), $\eu^{-A} = \cos x$ : समांगी हल $\lambda\cos x$ । अचरों का विचरण: $\mu'(x) = \sin 2x \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\sin x$ , अतः $\mu = -2\cos x + \lambda$ और

y(x) = -2\cos^2 x + \lambda \cos x .

जाँच: $y' = 4\cos x \sin x - \lambda\sin x$ और $y\tan x = -2\cos x\sin x + \lambda \sin x$ ; उनका योग $2\cos x\sin x = \sin 2x$ है, जैसा अपेक्षित था।

अभ्यास 5.6 ★★

$\R$ पर $y'' - 4y' + 3y = (2x + 1)\,\eu^{x}$ हल कीजिए। (बहुलता का ध्यान रखिए: क्या $1$ अभिलक्षणिक बहुपद का मूल है?)

हल

हल — अभ्यास 5.6.

$\chi(r) = r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3)$ : $\gamma = 1$ सरल मूल है ( $m = 1$ )। $y_p = x(ax + b)\,\eu^x$ आज़माइए। $u = ax^2 + bx$ के साथ,

y_p'' - 4y_p' + 3y_p = \bigl(u'' + (2 - 4)u' + \chi(1) u\bigr)\eu^x = \bigl(2a - 2(2ax + b)\bigr)\eu^x .

$(2x + 1)\eu^x$ से पहचान कीजिए: $-4a = 2$ और $2a - 2b = 1$ , अतः $a = -\frac12$ , $b = -1$ । व्यापक हल:

y = -\Bigl(\frac{x^2}{2} + x\Bigr)\eu^{x} + \lambda\,\eu^{x} + \mu\,\eu^{3x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .

अभ्यास 5.7 ★★

$\R$ पर $y'' + 4y = \sin 2x + x$ हल कीजिए (अध्यारोपण; प्रत्येक दाएँ पक्ष का उपचार अलग-अलग कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 5.7.

समांगी: $y_h = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$ ।

दायाँ पक्ष $x$ ( $\gamma = 0$ मूल नहीं है): $4(ax + b) = x$ के साथ $y_1 = ax + b$ : $y_1 = \frac x4$ ।

दायाँ पक्ष $\sin 2x = \Im(\eu^{2\iu x})$ , जहाँ $2\iu$ $r^2 + 4$ का सरल मूल है: $z = c\,x\,\eu^{2\iu x}$ आज़माइए; तब $z'' + 4z = 4\iu c\,\eu^{2\iu x}$ , जो $c = \frac{1}{4\iu} = -\frac{\iu}{4}$ के लिए $\eu^{2\iu x}$ के बराबर है। अतः $z = -\frac{\iu x}{4}(\cos 2x + \iu \sin 2x)$ और $y_2 = \Im(z) = -\frac{x\cos 2x}{4}$ ।

अध्यारोपण से:

y = \frac{x}{4} - \frac{x\cos 2x}{4} + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .

अभ्यास 5.8 ★★

$T_0 = 80\,^\circ$ C तापमान वाली कॉफ़ी का प्याला $20\,^\circ$ C के कमरे में रखा है। न्यूटन का शीतलन नियम $k > 0$ के साथ $T' = -k\,(T - 20)$ कहता है। $T(t)$ के लिए हल कीजिए, और यह देखते हुए कि $10$ मिनट बाद कॉफ़ी $50\,^\circ$ C पर है, बताइए कि वह $25\,^\circ$ C पर कब पहुँचेगी।

हल

हल — अभ्यास 5.8.

समीकरण $T' + kT = 20k$ का अचर विशिष्ट हल $20$ है और समांगी हल $\lambda\eu^{-kt}$ हैं: $T(t) = 20 + \lambda\,\eu^{-kt}$ , और $T(0) = 80$ से $\lambda = 60$ मिलता है:

T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt} .

$T(10) = 50$ : $\eu^{-10k} = \frac12$ , अतः $k = \frac{\ln 2}{10}$ । फिर $T(t) = 25$ के लिए $\eu^{-kt} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ आवश्यक है, अर्थात्

t = \frac{\ln 12}{k} = 10\,\frac{\ln 12}{\ln 2} \approx 35.8 \text{ मिनट।}

अभ्यास 5.9 ★★★

(अवमंदित दोलक) $\varepsilon \geq 0$ के लिए $y'' + 2\varepsilon y' + y = 0$ पर विचार कीजिए।

$\varepsilon \in \intco{0}{1}$ , $\varepsilon = 1$ और $\varepsilon > 1$ के लिए हल कीजिए।
दिखाइए कि $\varepsilon > 0$ के लिए प्रत्येक हल $+\infty$ पर $0$ की ओर जाता है, और $\varepsilon = 0$ के लिए अशून्य हल ऐसा नहीं करते।
$\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ के लिए दिखाइए कि किसी अशून्य हल के शून्य नियमित अंतराल पर हैं, जिनका अंतराल $\frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ है।

हल

हल — अभ्यास 5.9.

$\chi(r) = r^2 + 2\varepsilon r + 1$ , $\Delta = 4(\varepsilon^2 - 1)$ । $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ के लिए: मूल $-\varepsilon \pm \iu\sqrt{1 - \varepsilon^2}$ , अतः $\omega = \sqrt{1 - \varepsilon^2}$ के साथ $y = \eu^{-\varepsilon t}\bigl(\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t\bigr)$ । $\varepsilon = 1$ के लिए: द्विक मूल $-1$ , $y = (\lambda + \mu t)\,\eu^{-t}$ । $\varepsilon > 1$ के लिए: वास्तविक मूल $r_\pm = -\varepsilon \pm \sqrt{\varepsilon^2 - 1}$ , दोनों $< 0$ , और $y = \lambda\eu^{r_+t} + \mu\eu^{r_-t}$ ।
$\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ के लिए: $\abs y \leq \eu^{-\varepsilon t}(\abs\lambda + \abs\mu) \to 0$ । $\varepsilon = 1$ के लिए: $(\lambda + \mu t)\eu^{-t} \to 0$ (चरघातांकी बहुपद को हरा देता है, प्रतिज्ञप्ति 4.6)। $\varepsilon > 1$ के लिए: दोनों चरघातांकी क्षय होते हैं, क्योंकि $r_\pm < 0$ (वस्तुतः $\sqrt{\varepsilon^2 - 1} < \varepsilon$ )। $\varepsilon = 0$ के लिए: $y = \lambda\cos t + \mu\sin t$ का आयाम अचर $\sqrt{\lambda^2 + \mu^2} \neq 0$ रहता है, जब तक $y = 0$ न हो।
$R = \sqrt{\lambda^2 + \mu^2} > 0$ के साथ $\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t = R\cos(\omega t - \varphi)$ लिखिए। $y$ के शून्य वही हैं जो $\cos(\omega t - \varphi)$ के हैं (गुणनखंड $\eu^{-\varepsilon t}$ कभी लुप्त नहीं होता): $\omega t - \varphi \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ , जो अंतराल $\frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ वाली समांतर श्रेणी है।

अभ्यास 5.10 ★★★

ऐसे सभी दो बार अवकलनीय फलन $f \colon \R \to \R$ खोजिए कि

\forall x, y \in \R, \qquad f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y),

जहाँ $f(0) \ne 0$ और $f$ अचर नहीं है। संकेत: $y$ नियत कीजिए, $0$ पर $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन कीजिए; दिखाइए कि किसी अचर $c$ के लिए $f(0) = 1$ और $f'' = c f$ ; फिर $c$ के चिह्न के अनुसार हल कीजिए और जाँचिए कि कौन-से हल फलनीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 5.10.

$x = y = 0$ रखिए: $2f(0) = 2f(0)^2$ , और $f(0) \neq 0$ से $f(0) = 1$ मिलता है। $x$ नियत कीजिए और समीकरण का $y$ के सापेक्ष दो बार अवकलन कीजिए:

f''(x+y) + f''(x-y) = 2 f(x) f''(y) .

$y = 0$ रखने पर: $\;2f''(x) = 2 f(x) f''(0)$ , अर्थात्

f''(x) = c\,f(x), \qquad c = f''(0).

स्थिति $c = \omega^2 > 0$ : $f(x) = \lambda\cosh\omega x + \mu\sinh\omega x$ ; $f(0) = 1$ से $\lambda = 1$ मिलता है। फलनीय समीकरण में रखने पर और योग-सूत्रों (प्रतिज्ञप्ति 4.18) का प्रयोग करने पर समीकरण $\mu = 0$ पर बाध्य कर देता है ( $\sinh\omega x \sinh\omega y$ के गुणांकों की तुलना कीजिए या $x = y$ पर मान लीजिए): $f = \cosh\omega x$ , जो $\cosh(x+y) + \cosh(x-y) = 2\cosh x\cosh y$ को सचमुच संतुष्ट करता है।

स्थिति $c = -\omega^2 < 0$ : इसी प्रकार $f(x) = \cos\omega x$ ( $\omega \neq 0$ ), जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

स्थिति $c = 0$ : $f(0) = 1$ के साथ $f$ ऐफ़ीन है: $f(x) = 1 + \mu x$ ; समीकरण $\mu = 0$ पर बाध्य करता है, जो वर्जित है ( $f$ अचर नहीं है)।

निष्कर्ष: हल $f(x) = \cos\omega x$ और $f(x) = \cosh\omega x$ , $\omega > 0$ हैं।

अभ्यास 5.11 ★★

(ऑयलर समीकरण) $\intoo{0}{+\infty}$ पर $x^2 y'' - x y' + y = 0$ हल कीजिए। संकेत: $z(t) = y(\eu^t)$ रखिए, अर्थात् $x = \eu^t$ प्रतिस्थापित कीजिए, और दिखाइए कि $z$ अचर गुणांकों वाले रैखिक समीकरण को संतुष्ट करता है।

हल

हल — अभ्यास 5.11.

$z(t) = y(\eu^t)$ रखिए, जिससे $x > 0$ के लिए $y(x) = z(\ln x)$ । तब

y'(x) = \frac{z'(\ln x)}x, \qquad y''(x) = \frac{z''(\ln x) - z'(\ln x)}{x^2} ,

और समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

x^2y'' - xy' + y = \bigl(z'' - z'\bigr) - z' + z = z'' - 2z' + z = 0 .

अभिलक्षणिक बहुपद $(r - 1)^2$ : द्विक मूल $1$ , अतः $z(t) = (\lambda + \mu t)\,\eu^t$ , और चर $x = \eu^t$ में लौटकर:

y(x) = (\lambda + \mu\ln x)\,x, \qquad \lambda, \mu \in \R .

अभ्यास 5.12 ★★★

अज्ञात अवकलनीय फलन $y \colon \R \to \R$ के साथ पूरी वास्तविक रेखा पर समीकरण $x\,y' = 2y$ पर विचार कीजिए।

$\intoo{0}{+\infty}$ पर और $\intoo{-\infty}{0}$ पर हल कीजिए।
दिखाइए कि किन्हीं भी अचरों $a, b \in \R$ के लिए वह फलन जो $x \geq 0$ के लिए $ax^2$ के बराबर हो और $x < 0$ के लिए $bx^2$ के बराबर, $\R$ पर अवकलनीय है और सर्वत्र समीकरण को हल करता है।
निष्कर्ष निकालिए कि $\R$ पर हल-समुच्चय दो-प्राचल वाला कुल है, और समझाइए कि यह प्रमेय 5.4 की अद्वितीयता का विरोध क्यों नहीं करता।

हल

हल — अभ्यास 5.12.

प्रत्येक अंतराल पर मानकीकृत रूप $y' - \frac2x\,y = 0$ में: $A(x) = -2\ln\abs x$ , अतः हल $\intoo0{+\infty}$ पर $y = a x^2$ और $\intoo{-\infty}0$ पर $y = b x^2$ हैं, जिनके अचर स्वतंत्र हैं (प्रमेय 5.2)।
मान लीजिए $x \geq 0$ के लिए $y = ax^2$ और $x < 0$ के लिए $bx^2$ । प्रत्येक खुली अर्धरेखा पर $y$ अवकलनीय है और $xy' = 2y$ । $0$ पर: अंतर-भागफल $\frac{y(h) - y(0)}h = ah$ या $bh$ $0$ की ओर जाते हैं, अतः $y'(0) = 0$ विद्यमान है, और $x = 0$ पर समीकरण $0 \cdot y'(0) = 2y(0) = 0$ कहता है: जो संतुष्ट है। अतः $y$ पूरे $\R$ पर समीकरण को हल करता है।
$\R$ पर हल ठीक यही जोड़े हुए फलन हैं: प्रथम कोटि के समीकरण के लिए दो-प्राचल वाला कुल। प्रमेय 5.4 से कोई विरोध नहीं है, क्योंकि यहाँ उसकी परिकल्पनाएँ विफल हैं: $y' + a(x)y = 0$ के रूप में लिखने पर गुणांक $a(x) = -\frac2x$ $0$ पर संतत नहीं है — वस्तुतः परिभाषित ही नहीं है — अतः $\R$ ऐसा अंतराल नहीं है जिस पर वह प्रमेय लागू हो। $0$ की विचित्रता दोनों अर्धरेखाओं को अलग कर देती है, और मान $y(0) = 0$ अनिवार्य हो जाता है, जो एक ओर से दूसरी ओर कोई सूचना नहीं ले जाता। $x_0 \neq 0$ पर हर कोशी आँकड़ा हल को केवल उसी अर्धरेखा पर निर्धारित करता है जिसमें $x_0$ है।

5.4 समस्या: प्रणोदित अवमंदित दोलक

समस्या 5.1

एक ही समीकरण श्यान माध्यम में स्प्रिंग पर लगे द्रव्यमान, RLC परिपथ के आवेश, और हवा में झूलती इमारत — तीनों को नियंत्रित करता है:

(E_\Omega)\colon\quad x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2\,x = A\cos(\Omega t),

जहाँ $\lambda \geq 0$ अवमंदन है, $\omega_0 > 0$ स्वाभाविक आवृत्ति है, और $A > 0$ , $\Omega > 0$ प्रणोदन के आयाम तथा आवृत्ति हैं। यह समस्या उसका पूरा व्यवहार निकाल लेती है: क्षणिक भागों का क्षय, अद्वितीय आवर्ती स्थायी अवस्था, अनुनाद वक्र और उसकी तीक्ष्णता (गुणता कारक), अनवमंदित स्थिति के विस्पंद, और वह ऊर्जा-संतुलन जो दोलन को बनाए रखता है। जब तक अन्यथा न कहा जाए, $0 < \lambda < \omega_0$ (अल्प-अवमंदित अवस्था) और हम $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$ लिखते हैं।

भाग I — मुक्त दोलक। यहाँ $A = 0$ ।

$0 < \lambda < \omega_0$ के लिए और $\lambda = 0$ के लिए समांगी समीकरण $(H)$ हल कीजिए। (अवस्थाएँ $\lambda \geq \omega_0$ अभ्यास 5.9 में सँभाली गई थीं; उन्हें उद्धृत कीजिए।)
दिखाइए कि प्रत्येक $\lambda > 0$ के लिए $(H)$ के सभी हल $+\infty$ पर $0$ की ओर जाते हैं — तीनों अवस्थाओं में।
$(H)$ के किसी हल पर ऊर्जा $\mathcal E(t) = \frac12 x'(t)^2 + \frac12\omega_0^2\,x(t)^2$ परिभाषित कीजिए। दिखाइए $\mathcal E'(t) = -2\lambda\,x'(t)^2 \leq 0$ , और उससे (बिना कुछ हल किए) निकालिए कि प्रत्येक $\lambda \geq 0$ के लिए कोशी समस्या “ $(H)$ , $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ ” का केवल शून्य हल है।
$0 < \lambda < \omega_0$ के लिए अशून्य हल को $x(t) = R\,\eu^{-\lambda t}\cos(\omega_d t - \varphi)$ लिखिए और मान लीजिए $T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}$ छद्म-आवर्तकाल है। दिखाइए कि $x(t + T_d) = \eu^{-\lambda T_d}\,x(t)$ : प्रत्येक झूला पिछले झूले का अचर गुणक $\eu^{-\delta}$ से सिकुड़ा हुआ रूप है, $\delta = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ (लघुगणकीय ह्रासांक)। $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ के लिए $\delta$ संगणित कीजिए।
गुणता कारक $Q = \dfrac{\omega_0}{2\lambda}$ परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि समय $\frac1\lambda$ (एक आयाम- $\eu$ -गुणन) के बाद दोलक $\frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ छद्म-आवर्तकाल पूरे कर चुका होता है, जो दुर्बल अवमंदन ( $\lambda \ll \omega_0$ ) के लिए लगभग $\frac Q\pi$ है: गुणता कारक $\pi$ तक यही गिनता है कि आयाम के $\eu$ से घटने से पहले कितने दोलन बच रहे।

भाग II — स्थायी अवस्था। अब $A > 0$ और $\lambda > 0$ ।

$z \in \C$ (विधि 5.13) के साथ $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ के वास्तविक भाग के रूप में विशिष्ट हल खोजिए। दिखाइए कि यह इनके साथ काम करता है

$z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega} .$
उससे स्थायी अवस्था को आयाम–कला रूप में निकालिए: $x_p(t) = R(\Omega)\cos\bigl(\Omega t - \varphi(\Omega)\bigr)$ , जहाँ

$R(\Omega) = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}, \quad \varphi \in \intoo0\pi .$
दोनों चरम अवस्थाओं की व्याख्या कीजिए: $\Omega \to 0^+$ पर $R$ और $\varphi$ की सीमाएँ संगणित कीजिए (अर्ध-स्थैतिक अनुक्रिया $A/\omega_0^2$ , कला $0$ ) और $\Omega \to +\infty$ पर भी ( $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , कला $\to \pi$ : द्रव्यमान अत्यधिक तेज़ प्रणोदन के विपरीत चलता है)।
दिखाइए कि $(E_\Omega)$ का प्रत्येक हल $x_p$ और $(H)$ के किसी हल का योग है, अतः आरंभिक शर्तें जो भी हों, वह $t \to +\infty$ पर स्थायी अवस्था $x_p$ की ओर अभिसरित होता है: क्षणिक भाग के मर जाने पर दोलक को यह स्मरण नहीं रहता कि उसका आरंभ कैसे हुआ था।
दिखाइए कि $(E_\Omega)$ का एकमात्र आवर्ती हल $x_p$ है।
एक कोशी समस्या अंत तक कीजिए: $x(0) = x'(0) = 0$ के साथ $x'' + 2x' + 2x = \cos t$ के लिए दिखाइए कि हल है

$x(t) = \frac{\cos t + 2\sin t}5 - \eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5 ,$

और क्षणिक तथा स्थायी भागों की पहचान कीजिए।

भाग III — अनुनाद वक्र। $\intoo0{+\infty}$ पर $\Omega \mapsto R(\Omega)$ का अध्ययन।

$u = \Omega^2$ और $g(u) = (\omega_0^2 - u)^2 + 4\lambda^2 u$ रखकर दिखाइए: यदि $2\lambda^2 < \omega_0^2$ , तो $R$ अनुनाद आवृत्ति $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ पर कठोर अधिकतम प्राप्त करता है, जहाँ

$R_{\max} = R(\Omega_r) = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} .$
दिखाइए कि $\dfrac{R_{\max}}{R(0)} = Q\,\bigl(1 - \tfrac{\lambda^2}{\omega_0^2}\bigr)^{-1/2} \geq Q$ : अनुनाद पर प्रणोदन (मूलतः) गुणता कारक से प्रवर्धित होता है।
सिद्ध कीजिए कि वेग का आयाम $V(\Omega) = \Omega\,R(\Omega)$ ठीक $\Omega = \omega_0$ पर अधिकतम है ( $\Omega_r$ पर नहीं), और यह कि वहाँ कला $\varphi(\omega_0) = \frac\pi2$ है: $\Omega = \omega_0$ पर वेग बल के ठीक समान कला में है।
(पट्ट-चौड़ाई) $g(u) = 2\,g(u_r)$ यथार्थ रूप से हल कीजिए, जहाँ $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ , और उससे निकालिए कि $R = R_{\max}/\sqrt2$ वाली दोनों आवृत्तियाँ $\Omega_\pm$ $\Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$ को संतुष्ट करती हैं; निष्कर्ष निकालिए कि दुर्बल अवमंदन के लिए पट्ट-चौड़ाई $\Omega_+ - \Omega_- \approx 2\lambda$ है, अर्थात् $Q \approx \frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-}$ : तीक्ष्ण अनुनाद-शिखर उच्च- $Q$ निकायों के होते हैं।
$\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.05$ ( $Q = 10$ ), $A = 1$ के लिए संख्यात्मक चित्र: $\Omega_r$ , $R_{\max}$ , स्थैतिक अनुक्रिया $R(0)$ और सन्निकट पट्ट-चौड़ाई संगणित कीजिए।
दिखाइए कि यदि $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ , तो $R$ $\intoo0{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है: भारी अवमंदन वाले निकायों में अनुनाद-शिखर होता ही नहीं।

भाग IV — अवमंदन के बिना: विस्पंद और अनुनाद। यहाँ $\lambda = 0$ ।

$\Omega \neq \omega_0$ के लिए $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\Omega t)$ का व्यापक हल खोजिए।
कोशी समस्या $x(0) = x'(0) = 0$ हल कीजिए और उत्तर को गुणनफल-रूप में बदलिए

$x(t) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) .$
$\omega_0$ के निकट $\Omega$ के लिए इस गुणनफल को आवृत्ति $\frac{\omega_0 + \Omega}2$ के तीव्र दोलन के रूप में पढ़िए, जो आवृत्ति $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ के मंद अन्वालोप से मॉडुलित है: यही विस्पंद हैं। अन्वालोप का आवर्तकाल और अधिकतम आयाम दीजिए, और ध्यान दीजिए कि $\Omega \to \omega_0$ होने पर दोनों कैसे फट पड़ते हैं।
$t$ नियत कीजिए और प्रश्न 19 के सूत्र में $\Omega \to \omega_0$ लीजिए: दिखाइए कि सीमा है

$x_\infty(t) = \frac{A\,t\,\sin(\omega_0 t)}{2\omega_0} ,$

और सीधे जाँचिए कि $x_\infty$ $x(0) = x'(0) = 0$ के साथ अनुनादी समीकरण $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\omega_0 t)$ को हल करता है (उदाहरण 5.19 से तुलना कीजिए): अनुनाद निरंतर धीमे और निरंतर बड़े विस्पंदों की सीमा है।
अनुनाद की दोनों नियतियों की तुलना कीजिए: अवमंदन के बिना रैखिक वृद्धि $\frac{At}{2\omega_0}$ , और दुर्बल अवमंदन के साथ $R_{\max} \approx Q\,\frac{A}{\omega_0^2}$ पर संतृप्ति। एक वाक्य में: कौन-सी भौतिक क्रियाविधि पहली को दूसरी में बदल देती है?

भाग V — ऊर्जा-संतुलन और संश्लेषण।

भाग II की स्थायी अवस्था में एक आवर्तकाल $\frac{2\pi}\Omega$ पर (क) प्रणोदन द्वारा प्रविष्ट शक्ति $P_{\mathrm{in}}(t) = A\cos(\Omega t) \cdot x_p'(t)$ और (ख) अवमंदन द्वारा क्षयित शक्ति $P_{\mathrm{diss}}(t) = 2\lambda\,x_p'(t)^2$ का औसत संगणित कीजिए। दिखाइए कि दोनों औसत $\lambda\,R^2\Omega^2$ के बराबर हैं: प्रणोदन ठीक उतना ही देता है जितना अवमंदन जलाता है — इसीलिए स्थायी अवस्था स्थायी है।
इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) संरचना प्रमेय प्रमेय 5.12; (ख) सम्मिश्र चरघातांकी विधि; (ग) अध्याय 4 की शैली में वास्तविक चर वाले फलन का अध्ययन? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
संश्लेषण: $(E_\Omega)$ का पूरा व्यवहार-मानचित्र वर्णित कीजिए — मुक्त बनाम प्रणोदित, अवमंदित बनाम अनवमंदित, और शिखर की ऊँचाई, पट्ट-चौड़ाई तथा क्षणिक भाग के जीवनकाल को एक साथ नियंत्रित करने वाले एकमात्र विमाहीन घुंडी $Q$ की भूमिका — और बताइए कि कहानी आगे कहाँ चलती है: प्रथम कोटि के $2 \times 2$ निकाय (अध्याय 21 और स्नातक वर्ष 2 का खंड) तथा किसी व्यापक आवर्ती प्रणोदन का ज्यावक्रीय फलनों में वियोजन (फूरिये श्रेणी, स्नातक वर्ष 3 के खंड में), जिसके लिए इस समस्या की ज्यावक्रीय स्थिति मूल निर्माण-खंड है।

हल

हल — समस्या 5.1.

1. $0 < \lambda < \omega_0$ के लिए $\chi(r) = r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2$ , $\Delta = 4(\lambda^2 - \omega_0^2) < 0$ : मूल $-\lambda \pm \iu\omega_d$ , अतः प्रमेय 5.10 से

x(t) = \eu^{-\lambda t}\bigl(\lambda_1\cos\omega_d t + \mu_1\sin\omega_d t\bigr), \qquad (\lambda_1, \mu_1) \in \R^2 .

$\lambda = 0$ के लिए: $x = \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t$ । क्रांतिक ( $\lambda = \omega_0$ ) और अति-अवमंदित ( $\lambda > \omega_0$ ) अवस्थाएँ वही हैं जो अभ्यास 5.9 की हैं (समय के पुनर्मापन के बाद): $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t}$ , अथवा $r_\pm = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}$ के साथ $\eu^{r_\pm t}$ के संयोजन।

2. अल्प-अवमंदित: $\abs x \leq \eu^{-\lambda t}(\abs{\lambda_1} + \abs{\mu_1}) \to 0$ । क्रांतिक: $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t} \to 0$ , क्योंकि चरघातांकी बहुपदों को हरा देते हैं (प्रतिज्ञप्ति 4.6)। अति-अवमंदित: $r_- < r_+ = -\lambda + \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < 0$ , क्योंकि $\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < \lambda$ ; दोनों चरघातांकी क्षय होते हैं।

3. $x'' = -2\lambda x' - \omega_0^2 x$ का प्रयोग करते हुए $(H)$ के किसी हल पर:

\mathcal E'(t) = x'x'' + \omega_0^2 x x' = x'\bigl(-2\lambda x' - \omega_0^2 x\bigr) + \omega_0^2 xx' = -2\lambda\,x'^2 \leq 0 .

यदि $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ , तो $\mathcal E(t_0) = 0$ ; $\mathcal E$ ऋणेतर और अवर्धमान है, अतः $\intco{t_0}{+\infty}$ पर $\mathcal E \equiv 0$ , जिससे वहाँ $x \equiv 0$ अनिवार्य हो जाता है; $t \leq t_0$ के लिए वही तर्क $\tilde x(t) = x(2t_0 - t)$ पर चलाइए, जो अवमंदन $-\lambda$ वाले समीकरण को हल करता है पर उसमें भी $\tilde{\mathcal E}(t_0) = 0$ और $\tilde{\mathcal E} \geq 0$ के साथ $\tilde{\mathcal E}' = +2\lambda\tilde x'^2 \geq 0$ है; ऋणेतर, अह्रासमान और $\intoc{-\infty}{t_0}$ के दाएँ सिरे पर शून्य होने का अर्थ है सर्वत्र शून्य। अतः $\R$ पर $x \equiv 0$ — अद्वितीयता की एक ऊर्जा-उपपत्ति, जो सभी $\lambda \geq 0$ के लिए वैध है।

4. $x(t + T_d) = R\,\eu^{-\lambda t}\eu^{-\lambda T_d}\cos(\omega_d t + 2\pi - \varphi) = \eu^{-\lambda T_d}x(t)$ । प्रति छद्म-आवर्तकाल संकुचन-गुणक $\delta = \lambda T_d = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ के साथ $\eu^{-\delta}$ है। $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ के लिए: $\omega_d = \sqrt{0.99} = 0.99499$ , अतः $\delta = \frac{0.62832}{0.99499} = 0.6315$ : हर झूला अपने आयाम का $\eu^{-0.63} \approx 53\%$ बनाए रखता है।

5. आयाम-गुणक $\eu^{-\lambda t}$ है, जो $t = \frac1\lambda$ में $\eu$ से घटता है। उस अंतराल में $\frac{1/\lambda}{T_d} = \frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ छद्म-आवर्तकाल आते हैं। $\lambda \ll \omega_0$ के लिए $\omega_d \approx \omega_0$ , और यह $\approx \frac{\omega_0}{2\pi\lambda} = \frac Q\pi$ है। $Q = 300$ वाली गिटार की तार लगभग सौ आवर्तकाल तक गूँजती है; $Q = 1$ वाला दरवाज़े का अवमंदक एक भी पूरा नहीं करता।

6. बाएँ पक्ष में $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ प्रतिस्थापित करने पर $z\,(-\Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega + \omega_0^2)\,\eu^{\iu\Omega t}$ मिलता है, जो ठीक $z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega}$ के लिए $A\,\eu^{\iu\Omega t}$ के बराबर है (हर अशून्य है: उसका काल्पनिक भाग $2\lambda\Omega > 0$ है)। चूँकि गुणांक वास्तविक हैं, वास्तविक भाग $x_p = \Re\bigl(z\eu^{\iu\Omega t}\bigr)$ दाएँ पक्ष $\Re\bigl(A\eu^{\iu\Omega t}\bigr) = A\cos\Omega t$ वाले समीकरण को हल करता है।

7. $D = (\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\lambda^2\Omega^2$ और $\varphi \in \intoo0\pi$ के साथ $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega = \sqrt{D}\,\eu^{\iu\varphi}$ लिखिए (काल्पनिक भाग $2\lambda\Omega$ धनात्मक है), अतः $\tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ । तब $z = \frac{A}{\sqrt D}\eu^{-\iu\varphi}$ और

x_p(t) = \Re\Bigl(\frac A{\sqrt D}\,\eu^{\iu(\Omega t - \varphi)}\Bigr) = R\cos(\Omega t - \varphi), \qquad R = \frac A{\sqrt D} .

8. जब $\Omega \to 0^+$ : $D \to \omega_0^4$ , अतः $R \to A/\omega_0^2$ और $\varphi \in \intoo0{\frac\pi2}$ के साथ $\tan\varphi \to 0^+$ : $\varphi \to 0$ । द्रव्यमान बल का अनुसरण अर्ध-स्थैतिक रूप से करता है, और उसका विस्थापन बल/दृढ़ता होता है। जब $\Omega \to +\infty$ : $D \sim \Omega^4$ , अतः $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , और $\varphi \to \pi$ (सम्मिश्र संख्या $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega$ कोणांक $\to \pi$ के साथ द्वितीय चतुर्थांश में चली जाती है): द्रव्यमान मुश्किल से हिलता है, और कला-विरोध में — जड़त्व प्रभावी है।

9. प्रमेय 5.12 (1) से प्रत्येक हल $x = x_p + x_h$ है, जहाँ $x_h$ $(H)$ को हल करता है; प्रश्न 2 से $x_h(t) \to 0$ , अतः $x(t) - x_p(t) \to 0$ : सभी हल उसी स्थायी अवस्था की ओर अभिसरित होते हैं। आरंभिक शर्तें केवल क्षणिक भाग को आकार देती हैं।

10. यदि $x$ आवर्ती हल है, तो $x - x_p = x_h$ $(H)$ का ऐसा आवर्ती हल है जो $+\infty$ पर $0$ की ओर जाता है; सीमा $0$ वाला आवर्ती फलन तत्समक रूप से $0$ होता है (एक आवर्तकाल के उसके मान सदा दोहराते हैं, अतः हर मान $0$ की ओर जाते किसी अनुक्रम की सीमा है)। अतः $x = x_p$ ।

11. यहाँ $\lambda = 1$ , $\omega_0^2 = 2$ , $\Omega = 1$ , $A = 1$ : $z = \frac1{2 - 1 + 2\iu} = \frac{1 - 2\iu}5$ , अतः

x_p = \Re\Bigl(\frac{(1 - 2\iu)(\cos t + \iu\sin t)}5\Bigr) = \frac{\cos t + 2\sin t}5 .

समांगी: $r^2 + 2r + 2$ के मूल $-1 \pm \iu$ हैं: $x_h = \eu^{-t}(C\cos t + S\sin t)$ । शर्तें: $x(0) = \frac15 + C = 0$ से $C = -\frac15$ मिलता है; अवकलन करने पर $x'(0) = \frac25 - C + S = 0$ से $S = C - \frac25 = -\frac35$ मिलता है। अतः

x(t) = \underbrace{\frac{\cos t + 2\sin t}5}_{\text{स्थायी}} - \underbrace{\eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5}_{\text{क्षणिक}} ,

जहाँ क्षणिक भाग $\eu^{-t}$ की तरह मरता है।

12. प्रसार करने पर $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ के साथ $g(u) = u^2 - 2(\omega_0^2 - 2\lambda^2)u + \omega_0^4 = (u - u_r)^2 + g(u_r)$ , और

g(u_r) = \omega_0^4 - u_r^2 = (\omega_0^2 - u_r)(\omega_0^2 + u_r) = 2\lambda^2\bigl(2\omega_0^2 - 2\lambda^2\bigr) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2) .

यदि $2\lambda^2 < \omega_0^2$ , तो $u_r > 0$ स्वीकार्य वर्ग-आवृत्ति है: $g$ का वहाँ कठोर निम्नतम है, अतः $R = A/\sqrt g$ का $\Omega_r = \sqrt{u_r} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ पर कठोर अधिकतम है, जहाँ $R_{\max} = A/\sqrt{g(u_r)} = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}$ ।

13. $R(0) = A/\omega_0^2$ , अतः

\frac{R_{\max}}{R(0)} = \frac{\omega_0^2}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = \frac{\omega_0}{2\lambda}\cdot \frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = Q\,\Bigl(1 - \frac{\lambda^2}{\omega_0^2}\Bigr)^{-1/2} \geq Q .

दुर्बल अवमंदन के लिए संशोधन-गुणक $1$ के निकट है: अनुनाद स्थैतिक विस्थापन को मूलतः $Q$ से गुणा कर देता है।

14. $u = \Omega^2$ के साथ $V(\Omega)^2 = \frac{A^2 u}{g(u)}$ । उसके अवकलज का चिह्न $g(u) - u\,g'(u) = (\omega_0^2 - u)^2 + 4\lambda^2 u - u\bigl(2(u - \omega_0^2) + 4\lambda^2\bigr) = (\omega_0^2 - u)^2 + 2u(\omega_0^2 - u) = (\omega_0^2 - u)(\omega_0^2 + u)$ का चिह्न है, जो $u < \omega_0^2$ के लिए धनात्मक और उससे आगे ऋणात्मक है: अतः प्रत्येक अवमंदन के लिए कठोर अधिकतम ठीक $\Omega = \omega_0$ पर है। वहाँ $\varphi \in \intoo0\pi$ के साथ $\tan\varphi$ फट पड़ता है: $\varphi = \frac\pi2$ , और $x_p'(t) = -R\Omega\sin(\Omega t - \frac\pi2) = R\Omega\cos(\Omega t)$ बल के ठीक समान कला में है: इष्टतम शक्ति-अंतरण।

15. $R = R_{\max}/\sqrt2 \iff g(u) = 2g(u_r) \iff (u - u_r)^2 = g(u_r) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2)$ , जिससे

u_\pm = u_r \pm 2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}, \qquad \Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} .

फिर $\Omega_+ - \Omega_- = \frac{\Omega_+^2 - \Omega_-^2}{\Omega_+ + \Omega_-}$ , और $\lambda \ll \omega_0$ के लिए दोनों $\Omega_\pm \approx \omega_0$ : $\Omega_+ - \Omega_- \approx \frac{4\lambda\omega_0}{2\omega_0} = 2\lambda$ , अतः $\frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-} \approx \frac{\omega_0}{2\lambda} = Q$ । अनुनाद-शिखर की चौड़ाई नापना उसका गुणता कारक नापना है।

16. $Q = 10$ ; $\Omega_r = \sqrt{1 - 2(0.05)^2} = \sqrt{0.995} = 0.9975$ ; $R_{\max} = \frac1{2 \times 0.05 \sqrt{1 - 0.0025}} = \frac1{0.1 \times 0.99875} = 10.01$ ; स्थैतिक अनुक्रिया $R(0) = 1$ ; पट्ट-चौड़ाई $\approx 2\lambda = 0.1$ । $1$ ऊँचाई के पठार पर $\approx Q$ ऊँचाई की एक ऊँची पतली नोक।

17. यदि $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ , तो सभी $u > 0$ के लिए $u_r \leq 0$ और $g'(u) = 2(u - u_r) > 0$ : $\intoo0{+\infty}$ पर $g$ कठोरतः बढ़ता है, अतः $R = A/\sqrt g$ $R(0) = A/\omega_0^2$ से कठोरतः घटता है: अनुक्रिया शून्य आवृत्ति पर सबसे बड़ी है और कोई शिखर नहीं है।

18. $\gamma = \iu\Omega$ $r^2 + \omega_0^2$ का मूल नहीं है (क्योंकि $\Omega \neq \omega_0$ ), अतः $m = 0$ के साथ विधि 5.13 $x_p = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ देता है (प्रतिस्थापित करके जाँचिए: कोज्या का $-\Omega^2 + \omega_0^2$ गुना)। व्यापक हल:

x(t) = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2} + \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t .

19. $x(0) = 0$ $\lambda_1 = -\frac A{\omega_0^2 - \Omega^2}$ पर बाध्य करता है, और $x'(0) = 0$ $\mu_1 = 0$ पर:

x(t) = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \bigl(\cos\Omega t - \cos\omega_0 t\bigr) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\, \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) ,

यह गुणनफल-सूत्र $\cos a - \cos b = 2\sin\frac{b - a}2\sin\frac{b + a}2$ को $a = \Omega t$ , $b = \omega_0 t$ के साथ लगाने से मिलता है।

20. $\omega_0$ के निकट $\Omega$ के लिए दूसरी ज्या तीव्र आवृत्ति $\frac{\omega_0 + \Omega}2 \approx \omega_0$ पर दोलन करती है, जबकि पहली आवृत्ति $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ का मंद अन्वालोप है: तीव्र दोलन का आयाम अन्वालोप-आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\abs{\omega_0 - \Omega}}$ के साथ बढ़ता-घटता है (प्रति अन्वालोप-आवर्तकाल दो विस्पंद) और अधिकतम $\frac{2A}{\abs{\omega_0^2 - \Omega^2}}$ तक पहुँचता है। जब $\Omega \to \omega_0$ , तब विस्पंद और धीमे (आवर्तकाल $\to \infty$ ) तथा और ऊँचे (आयाम $\to \infty$ ) दोनों हो जाते हैं।

21. $t$ नियत कीजिए। जब $\Omega \to \omega_0$ :

\frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr) = \frac{2A}{\omega_0 + \Omega}\cdot \frac{\sin\bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\bigr)} {\omega_0 - \Omega} \longrightarrow \frac{2A}{2\omega_0}\cdot\frac t2 = \frac{At}{2\omega_0} ,

जबकि $\sin\bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\bigr) \to \sin(\omega_0 t)$ : सीमा $x_\infty(t) = \frac{At\sin\omega_0 t}{2\omega_0}$ है। सीधी जाँच: $C = \frac A{2\omega_0}$ के साथ $x_\infty = Ct\sin\omega_0 t$ में $x_\infty'' = 2C\omega_0\cos\omega_0 t - C\omega_0^2 t \sin\omega_0 t$ है, अतः $x_\infty'' + \omega_0^2 x_\infty = 2C\omega_0\cos\omega_0 t = A\cos\omega_0 t$ , जहाँ $x_\infty(0) = 0$ और $x_\infty'(0) = C\sin 0 + C\omega_0 \cdot 0 \cdot \cos 0 = 0$ — और $\omega_0 = A = 1$ के लिए यह ठीक उदाहरण 5.19 है। अनुनाद विस्पंदों का अपकर्ष है: अन्वालोप की पहली उभार, अनंत लंबाई तक खिंची हुई।

22. अवमंदन के बिना अनुनादी आयाम रैखिक रूप से और बिना परिबंध बढ़ता है; अवमंदन $\lambda > 0$ के साथ यह वृद्धि $R_{\max} \approx Q\,\frac A{\omega_0^2}$ पर संतृप्त हो जाती है। क्रियाविधि: क्षय ऊर्जा को ऐसी दर से हटाता है जो आयाम के साथ बढ़ती है (प्रश्न 23), अतः संचय ठीक तब रुक जाता है जब अवमंदन उतनी ही तेज़ी से ऊर्जा जलाने लगता है जितनी तेज़ी से प्रणोदन उसे देता है।

23. $x_p' = -R\Omega\sin(\Omega t - \varphi)$ के साथ, एक आवर्तकाल पर औसत $\langle\cos^2\rangle = \langle\sin^2\rangle = \frac12$ और $\langle\sin\cos\rangle = 0$ देते हैं:

\langle P_{\mathrm{diss}}\rangle = 2\lambda\,R^2\Omega^2\,\langle\sin^2(\Omega t - \varphi)\rangle = \lambda R^2\Omega^2 ;

और $\sin(\Omega t - \varphi) = \sin\Omega t\cos\varphi - \cos\Omega t\sin\varphi$ का प्रसार करने पर:

\langle P_{\mathrm{in}}\rangle = -AR\Omega\,\bigl\langle\cos\Omega t\,\sin(\Omega t - \varphi)\bigr\rangle = AR\Omega\,\frac{\sin\varphi}2 .

चूँकि $\sin\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\sqrt D} = \frac{2\lambda\Omega R}A$ , यह $\frac{AR\Omega}2 \cdot \frac{2\lambda\Omega R}A = \lambda R^2\Omega^2$ है: प्रविष्ट और क्षयित शक्तियाँ ठीक-ठीक संतुलित हैं — यही स्थायी अवस्था का परिभाषक गुणधर्म है।

24. (क) संरचना प्रमेय ने प्रत्येक हल को स्थायी अवस्था और क्षणिक भाग में बाँट दिया (प्रश्न 9–11) और अद्वितीयता को समांगी समस्या तक सीमित कर दिया। (ख) सम्मिश्र विधि ने विशिष्ट हल की खोज को सम्मिश्र संख्याओं के एक ही भाग में बदल दिया (प्रश्न 6), जहाँ आयाम और कला एक मापांक तथा एक कोणांक से पढ़ लिए जाते हैं। (ग) अनुनाद वक्र शुद्ध फलन-अध्ययन है — $u = \Omega^2$ में एक द्विघात, उसका निम्नतम, उसके स्तर-समुच्चय — अध्याय 4 की शैली में (प्रश्न 12–17)।

25. मुक्त और अवमंदित: क्षयशील छद्म-दोलन, जीवनकाल $\frac1\lambda$ , लगभग $\frac Q\pi$ झूले। प्रणोदित और अवमंदित: क्षणिक भाग मर जाते हैं और प्रणोदन-आवृत्ति पर एक अद्वितीय ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था बची रहती है, जिसका आयाम $\omega_0$ के पास शिखर पर होता है (ऊँचाई $\approx Q \times$ स्थैतिक, चौड़ाई $\approx \frac{\omega_0}Q$ ) और कला $0$ से $\omega_0$ पर $\frac\pi2$ से होती हुई $\pi$ तक बहती है। मुक्त और अनवमंदित: शाश्वत दोलन। प्रणोदित और अनवमंदित: विस्पंद, जो यथार्थ अनुरणन पर रैखिक रूप से बढ़ते अनुनाद में अपकर्षित हो जाते हैं। एक ही विमाहीन संख्या $Q = \frac{\omega_0}{2\lambda}$ सब कुछ साध देती है — शिखर की ऊँचाई, पट्ट-चौड़ाई और क्षणिक जीवनकाल उसी घुंडी के तीन पाठ हैं। आगे की कड़ी: $x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2x$ को प्रथम कोटि के निकाय के रूप में फिर से लिखना अध्याय 21 तथा स्नातक वर्ष 2 के खंड की आव्यूह विधियाँ खोल देता है, और किसी भी आवर्ती प्रणोदन का ज्यावक्रीय फलनों में वियोजन (फूरिये श्रेणी, स्नातक वर्ष 3 का खंड) इस समस्या के एक-आवृत्ति विश्लेषण को सार्वभौमिक निर्माण-खंड बना देता है: प्रत्येक आवृत्ति के लिए हल कीजिए और अध्यारोपित कर दीजिए।