ما معنى المجموعة المنتهية، عدد العناصر؟

مثال 2.6 (الانتهاء شرط جوهري)

على مجموعة منتهية تكون القضية 2.5 اختصارًا قويًا: فأيّ تطبيق متباين من $E$ إلى نفسها هو تلقائيًا تبديلة في $E$ — أي أن نصف التقابلية يأتي مجانًا. وينهار الاستلزامان معًا على المجموعات اللانهائية: فالتطبيق $n \mapsto n + 1$ متباين من $\N$ إلى $\N$ لكنه يفوت $0$، والتطبيق $\N \to \N$ الذي يرسل $0 \mapsto 0$ و $n \mapsto n - 1$ من أجل $n \geq 1$ شامل وغير متباين. وكلما استُدعيت هذه القضية كان فرض الانتهاء يقوم بعمل حقيقي — وهو موضوع تستكشفه مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 1 من الجهة المقابلة، حيث تكون المجموعات اللانهائية هي بالضبط تلك التي تقبل تطبيقات ذاتية كهذه.

مثال 2.7 (نصف العمل، مجانًا)

تأمّل التطبيق $f$ على $\{0, 1, \dots, 6\}$ الذي يرسل $k$ إلى باقي قسمة $3k$ على $7$؛ وجدول قيمه هو

هل $f$ تقابل؟ يكفي التباين وحده (القضية 2.5): فإذا كان للعددين $3k$ و $3k'$ الباقي نفسه قسم $7$ الفرق $3(k - k')$، وبما أن $7$ أوليّ ولا يقسم $3$ فإنه يقسم $k - k'$ (مبرهنة إقليدس المساعدة، المستعملة هنا على مستوى الثانوية والمبرهن عليها في الفصل 6)؛ ومع $\abs{k - k'} \leq 6$ يفرض هذا $k = k'$. ويأتي الشمول مجانًا — دون حاجة إلى حلّ $3k \equiv c$ من أجل كل $c$، وإن كان الجدول يؤكد ظهور كل قيمة مرة واحدة بالضبط. وهذا الاختصار عتيد: فهو يبرهن على قابلية الضرب الترديدي للقلب (الفصل 6)، وهو محرك الازدواج في مبرهنة ويلسون، ويعود في الجبر الخطي في صورة «تشاكل ذاتي لفضاء منته البُعد يكون متباينًا إذا وفقط إذا كان شاملًا» (الفصل 19).

مثال 2.17

تخصيصان كلاسيكيان: $a = b = 1$ يستعيد $\sum_k \binom nk = 2^n$؛ و $a = -1$ و $b = 1$ يعطيان $\sum_{k} (-1)^k \binom nk = 0$ من أجل $n \geq 1$: أي إن نصف أجزاء مجموعة غير خالية بالضبط له عدد عناصر زوجيّ.