O que é Aplicação, imagem, pré-imagem?

Exemplo 1.22 (Calculando imagens e pré-imagens)

Seja $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. Então:

Para a primeira: todo $x \in \intcc{-1}2$ tem $x^2 \in \intcc04$, e todo $y \in \intcc04$ é atingido como $y = (\sqrt y)^2$ com $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — note que a imagem não é $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$: imagens de intervalos não se calculam apenas a partir dos extremos. Para a segunda: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$, o que se desdobra em duas peças. A terceira ilustra que uma pré-imagem pode ser vazia — $f^{-1}(B)$ sempre faz sentido, por menor que seja a interseção de $B$ com a imagem. Por fim, observe neste exemplo o fenômeno de estrita inclusão da observação acima: com $A = \intcc{-1}0$ e $A' = \intcc01$, tem-se $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$, ao passo que $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

Exemplo 1.27 (O ponto (2) não pode ser reforçado)

Na Proposição 1.26 (2), não se pode reforçar as conclusões: $g \circ f$ bijetiva não obriga $f$ a ser sobrejetiva nem $g$ a ser injetiva. Tome $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, com $f(1) = 1$ e $g(1) = g(2) = 1$: então $g \circ f = \mathrm{id}_E$ é bijetiva e, no entanto, $f$ não atinge o elemento $2$ e $g$ colapsa os dois elementos. A moral é uma regra precisa de escrituração: a informação da composta flui para a aplicação interna no caso da injetividade e para a aplicação externa no caso da sobrejetividade, nunca no sentido contrário. (O Exercício 1.9 constrói o mesmo fenômeno com conjuntos infinitos, onde ele é o motor por trás das inversas unilaterais.)

Exemplo 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ não é injetiva ($f(-1) = f(1)$) nem sobrejetiva ($-1$ não tem pré-imagem). Restringindo o domínio e o contradomínio, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ é bijetiva, com inversa $y \mapsto \sqrt y$. A injetividade ou a sobrejetividade de uma aplicação dependem do domínio e do contradomínio anunciados, e não apenas da fórmula.