¿Qué es Aplicación, imagen, imagen recíproca?

Ejemplo 1.22 (Cálculo de imágenes e imágenes recíprocas)

Sea $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. Entonces:

Para la primera: todo $x \in \intcc{-1}2$ cumple $x^2 \in \intcc04$, y todo $y \in \intcc04$ se alcanza como $y = (\sqrt y)^2$ con $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — obsérvese que la imagen no es $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$: las imágenes de intervalos no se calculan solo con los extremos. Para la segunda: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$, que se parte en dos trozos. La tercera ilustra que una imagen recíproca puede ser vacía — $f^{-1}(B)$ siempre tiene sentido, por pequeña que sea la intersección de $B$ con la imagen. Por último, obsérvese en este ejemplo el fenómeno de inclusión estricta de la observación anterior: con $A = \intcc{-1}0$ y $A' = \intcc01$ se tiene $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$, mientras que $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

Ejemplo 1.27 (El punto (2) no se puede mejorar)

En la Proposición 1.26 (2) no se pueden reforzar las conclusiones: que $g \circ f$ sea biyectiva no obliga a que $f$ sea sobreyectiva ni a que $g$ sea inyectiva. Tómese $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, con $f(1) = 1$ y $g(1) = g(2) = 1$: entonces $g \circ f = \mathrm{id}_E$ es biyectiva, pero $f$ no alcanza el elemento $2$ y $g$ colapsa los dos elementos. La moraleja es una regla de contabilidad precisa: la información sobre la composición pasa a la aplicación interior para la inyectividad y a la exterior para la sobreyectividad, nunca al revés. (El Ejercicio 1.9 construye el mismo fenómeno con conjuntos infinitos, donde es el motor de las inversas laterales.)

Ejemplo 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ no es inyectiva ($f(-1) = f(1)$) ni sobreyectiva ($-1$ no tiene imagen recíproca). Restringiendo el dominio y el codominio, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ sí es biyectiva, con inversa $y \mapsto \sqrt y$. Que una aplicación sea inyectiva o sobreyectiva depende del dominio y del codominio anunciados, no solo de la fórmula.