Wat is Afbeelding, beeld, origineel?

Voorbeeld 1.22 (Beelden en originelen berekenen)

Zij $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. Dan is

Voor het eerste: elke $x \in \intcc{-1}2$ heeft $x^2 \in \intcc04$, en elke $y \in \intcc04$ wordt bereikt als $y = (\sqrt y)^2$ met $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — merk op dat het beeld niet $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$ is: beelden van intervallen bereken je niet uit de randpunten alleen. Voor het tweede: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$, wat in twee stukken uiteenvalt. Het derde toont dat een origineel leeg mag zijn — $f^{-1}(B)$ is altijd zinvol, hoe klein de doorsnede van $B$ met het beeld ook is. Bekijk ten slotte op ditzelfde voorbeeld het strengheidsverschijnsel uit de opmerking hierboven: met $A = \intcc{-1}0$ en $A' = \intcc01$ is $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$, terwijl $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

Voorbeeld 1.27 (Punt (2) is scherp)

In Propositie 1.26 (2) kunnen de conclusies niet versterkt worden: dat $g \circ f$ bijectief is, dwingt $f$ niet surjectief of $g$ injectief te zijn. Neem $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, met $f(1) = 1$ en $g(1) = g(2) = 1$: dan is $g \circ f = \mathrm{id}_E$ bijectief, terwijl $f$ het element $2$ mist en $g$ beide elementen op elkaar plakt. De moraal is een nauwkeurige boekhoudregel: informatie over de samenstelling stroomt voor injectiviteit naar de binnenste afbeelding en voor surjectiviteit naar de buitenste, nooit andersom. (Oefening 1.9 bouwt hetzelfde verschijnsel op oneindige verzamelingen, waar het de motor is achter eenzijdige inversen.)

Voorbeeld 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ is injectief noch surjectief ($f(-1) = f(1)$, en $-1$ heeft geen origineel). Beperken we domein en codomein, dan is $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ bijectief, met inverse $y \mapsto \sqrt y$. Of een afbeelding injectief of surjectief is, hangt dus af van het aangekondigde domein en codomein, niet alleen van het voorschrift.