ما معنى التطبيق، الصورة، الصورة العكسية؟

مثال 1.22 (حساب الصور والصور العكسية)

لتكن $f \colon \R \to \R$، $x \mapsto x^2$. عندئذ:

من أجل الأولى: كل $x \in \intcc{-1}2$ يحقق $x^2 \in \intcc04$، وكل $y \in \intcc04$ يُبلغ على الصورة $y = (\sqrt y)^2$ حيث $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — ولاحظ أن الصورة ليست $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$: فصور المجالات لا تُحسب من الطرفين وحدهما. ومن أجل الثانية: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$، وهذا ينقسم إلى قطعتين. وتوضح الثالثة أن الصورة العكسية قد تكون خالية — فالمجموعة $f^{-1}(B)$ ذات معنى دائمًا، مهما صغر تقاطع $B$ مع الصورة. وأخيرًا لاحظ على هذا المثال ظاهرة الاحتواء التام المذكورة في الملاحظة أعلاه: بأخذ $A = \intcc{-1}0$ و $A' = \intcc01$ نجد $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$، بينما $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

مثال 1.27 (النقطة (2) دقيقة)

في القضية 1.26 (2) لا يمكن تقوية الاستنتاجين: فكون $g \circ f$ تقابليًا لا يفرض شمول $f$ ولا تباين $g$. خذ $E = G = \{1\}$، و$F = \{1, 2\}$، مع $f(1) = 1$ و $g(1) = g(2) = 1$: عندئذ $g \circ f = \mathrm{id}_E$ تقابليّ، ومع ذلك يفوت $f$ العنصر $2$ ويطوي $g$ العنصرين في واحد. والعبرة قاعدةُ محاسبة دقيقة: تنتقل معلومة التركيب إلى التطبيق الداخلي في مسألة التباين، وإلى التطبيق الخارجي في مسألة الشمول، ولا تنتقل قط في الاتجاه المعاكس. (ويبني التمرين 1.9 الظاهرة نفسها على مجموعات لا نهائية، حيث تكون المحرك وراء المقلوبات أحادية الجانب.)

مثال 1.28

التطبيق $f \colon \R \to \R$، $x \mapsto x^2$ ليس متباينًا ($f(-1) = f(1)$) ولا شاملًا (فالعدد $-1$ ليست له سابقة). وبتقييد مجموعة التعريف ومجموعة الوصول يصير $f \colon \R_+ \to \R_+$، $x \mapsto x^2$ تقابليًا، ومقلوبه $y \mapsto \sqrt y$. فتباين تطبيق أو شموله يتعلق بمجموعتي التعريف والوصول المعلنتين، لا بالصيغة وحدها.