विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

10वास्तविक संख्याएँ

सारा विश्लेषण एक ही गुणधर्म पर टिका है, जो $\R$ को $\Q$ से अलग करता है: ऊपर से परिबद्ध प्रत्येक अरिक्त समुच्चय का एक लघुतम ऊपरी परिबंध होता है। यह अध्याय उसे ठीक-ठीक कहता है, उसके पहले परिणाम निकालता है — आर्किमिडीज़ गुणधर्म, फ़र्श फलन, परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं की सघनता — और वह शब्दावली खड़ी करता है (उच्चतम, निम्नतम, अधिकतम, न्यूनतम) जो अध्याय 11 से आगे लगातार प्रयुक्त होती है।

10.1 ऊपरी परिबंध का गुणधर्म

परिभाषा 10.1 (परिबंध, उच्चतम और निम्नतम)

मान लीजिए $A \subseteq \R$ अरिक्त है। वास्तविक $M$ $A$ का ऊपरी परिबंध तब है जब सभी $a \in A$ के लिए $a \leq M$ ; $A$ ऊपर से परिबद्ध तब है जब उसका कोई ऊपरी परिबंध हो (इसी प्रकार नीचे से, निचले परिबंधों के साथ; परिबद्ध का अर्थ है दोनों)। $A$ का अधिकतम ऐसा ऊपरी परिबंध है जो स्वयं $A$ का सदस्य हो।

उच्चतम $\sup A$ $A$ का लघुतम ऊपरी परिबंध है, जब वह विद्यमान हो; निम्नतम $\inf A$ महत्तम निचला परिबंध है।

प्रमेय 10.2 ( $\R$ का पूर्णता अभिगृहीत)

$\R$ ऐसा क्रमित क्षेत्र है जिसमें $\Q$ समाया हुआ है और जिसमें ऊपर से परिबद्ध प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय का उच्चतम होता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 10.3

हम इसे $\R$ का परिभाषक अभिगृहीत मानते हैं; कोई प्रतिरूप बनाना (डेडेकिंड विच्छेदों से या परिमेय संख्याओं के कोशी अनुक्रमों से) और उसकी अद्वितीयता सिद्ध करना ईमानदार तो है पर लंबा, अतः उसे आगे के अध्ययन के लिए छोड़ा गया है। ध्यान दीजिए कि $\Q$ यह गुणधर्म पूरा नहीं करता: $\{x \in \Q : x^2 < 2\}$ ऊपर से परिबद्ध है पर $\Q$ में उसका कोई लघुतम ऊपरी परिबंध नहीं है — उसका उम्मीदवार $\sqrt 2$ वहाँ अनुपस्थित है (उदाहरण 1.11)। विपरीत लेने से ( $\sup(-A) = -\inf A$ ) नीचे से परिबद्ध प्रत्येक अरिक्त समुच्चय का निम्नतम भी मिल जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 10.4 ( $\varepsilon$ -अभिलक्षण)

मान लीजिए $A \neq \emptyset$ ऊपर से परिबद्ध है और $s \in \R$ । तब $s = \sup A$ यदि और केवल यदि

$s$ ऊपरी परिबंध है: $\forall a \in A$ , $a \leq s$ ; तथा
उससे छोटा कोई नहीं है: $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists a \in A$ , $a > s - \varepsilon$ ।

उपपत्ति. यदि $s = \sup A$ : (1) परिभाषा से सत्य है, और (2) के लिए $s - \varepsilon < s$ ऊपरी परिबंध नहीं है, जो ठीक $a > s - \varepsilon$ के अस्तित्व के बराबर है। विलोमतः, (1) कहता है कि $s$ ऊपरी परिबंध है; (2) कहता है कि कोई $t < s$ ऊपरी परिबंध नहीं है ( $\varepsilon = s - t$ लीजिए): अतः $s$ लघुतम है। ∎

उदाहरण 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , जो प्राप्त नहीं होता (कोई अधिकतम नहीं); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ । $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए: $\sup A = 1$ , जो प्राप्त नहीं होता; $\inf A = \min A = 0$ । अधिकतम, जब विद्यमान हो, उच्चतम ही होता है; $\sup$ का पूरा प्रयोजन यही है कि जब अधिकतम विद्यमान न हो तब उसका विकल्प उपलब्ध रहे।

संख्या रेखा पर समुच्चय A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\: उसके बिंदु 1 की ओर ढेर होते जाते हैं पर उस तक पहुँचते नहीं। प्रत्येक संख्या ≥ 1 ऊपरी परिबंध है (वह किरण), और उससे छोटा कोई नहीं, क्योंकि A का कोई अवयव हर अंतराल (1 - , 1) में घुस आता है: अर्थात् एक ही चित्र में के दोनों उपवाक्य। उच्चतम ऊपरी परिबंधों की किरण का बायाँ सिरा है — और पूर्णता अभिगृहीत ठीक यही गारंटी है कि इस किरण का सदा एक बायाँ सिरा होता है। — संख्या रेखा पर समुच्चय $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ : उसके बिंदु $1$ की ओर ढेर होते जाते हैं पर उस तक पहुँचते नहीं। प्रत्येक संख्या $\geq 1$ ऊपरी परिबंध है (वह किरण), और उससे छोटा कोई नहीं, क्योंकि $A$ का कोई अवयव हर अंतराल $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ में घुस आता है: अर्थात् एक ही चित्र में प्रतिज्ञप्ति 10.4 के दोनों उपवाक्य। उच्चतम ऊपरी परिबंधों की किरण का बायाँ सिरा है — और पूर्णता अभिगृहीत ठीक यही गारंटी है कि इस किरण का सदा एक बायाँ सिरा होता है।

उदाहरण 10.6 (व्यवहार में उच्चतम की संगणना)

प्रतिज्ञप्ति 10.4 के दो पूरे अभ्यास।

समुच्चय $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ । प्रत्येक $x > 0$ के लिए $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , अतः $2$ निचला परिबंध है; और $2 = 1 + \frac11 \in A$ : इसलिए $\inf A = \min A = 2$ , जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है। ऊपर की ओर $A$ अपरिबद्ध है ( $x + \frac1x > x$ किसी भी $M$ को प्रमेय 10.10 से पार कर सकता है): अतः $\R$ में $\sup A$ विद्यमान नहीं है ( $\overline\R$ में वह $+\infty$ है)।

समुच्चय $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ । प्रत्येक अवयव $\intoo{0}{1}$ में है, अतः $0$ और $1$ परिबंध हैं। इनमें से कोई प्राप्त नहीं होता: $\frac{m}{m+n} = 1$ $n = 0$ पर बाध्य कर देता। उच्चतम के लिए $n = 1$ को नियत कीजिए और $m$ को बढ़ने दीजिए: $m + 1 > \frac1\varepsilon$ होते ही $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ (आर्किमिडीज़): $\sup B = 1$ । सममित रूप से ( $m = 1$ , $n$ बड़ा), $\inf B = 0$ । समापन का सार: उच्चतम को कीलने के लिए समुच्चय के भीतर एक सुचयनित एक-प्राचल पथ पर्याप्त है — यहाँ पथ $n = 1$ — और $\varepsilon$ -अभिलक्षण इससे अधिक कुछ नहीं माँगता।

उदाहरण 10.7 (निम्नतम का दर्पण)

निम्नतम का अपना $\varepsilon$ -अभिलक्षण है, जो $\inf A = -\sup(-A)$ के द्वारा प्रतिज्ञप्ति 10.4 से मिलता है: $i = \inf A$ तभी जब $i$ $A$ को नीचे से परिबद्ध करता हो और प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए कोई $a \in A$ $a < i + \varepsilon$ संतुष्ट करता हो। दोनों परिबंधों का एक साथ अभ्यास: मान लीजिए

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

सम सूचकांक $1 + \frac1n \leq \frac32$ देते हैं, जहाँ $n = 2$ पर समता है: और चूँकि विषम-सूचकांक वाले मान भी $\leq 0 < \frac32$ हैं, अतः $\sup A = \max A = \frac32$ । विषम सूचकांक $-1 + \frac1n > -1$ देते हैं, जो $-1$ की ओर घटते जाते हैं: $A$ का प्रत्येक अवयव $> -1$ है, और विषम $n > \frac1\varepsilon$ के लिए $-1 + \frac1n$ $-1 + \varepsilon$ को हरा देता है: $\inf A = -1$ , जो प्राप्त नहीं होता। एक ही समुच्चय, और चारों व्यवहार प्रदर्शित: ऐसा उच्चतम जो अधिकतम है, और ऐसा निम्नतम जो न्यूनतम नहीं है।

टिप्पणी 10.8 (उच्चतम और निम्नतम की सामान्य भूलें)

अधिकांश अंक चार भूलों से कटते हैं। (क) $\sup$ और $\max$ को मिला देना: $\sup A$ का $A$ का सदस्य होना आवश्यक नहीं है; $\max$ तभी लिखिए जब $A$ का ऐसा अवयव प्रस्तुत कर दिया हो जो ऊपरी परिबंध हो। (ख) कठोर असमिकाओं को उच्चतम तक ले जाना: यदि सभी $a \in A$ के लिए $a < b$ , तो केवल $\sup A \leq b$ निकाला जा सकता है — साक्षी $A = \intoo{0}{1}$ , $b = 1$ । (ग) वैधता जाँचे बिना $\sup A$ लिख देना: यह संकेत माँगता है कि $A$ अरिक्त और ऊपर से परिबद्ध हो (विधि 10.18); $\sup \emptyset$ और $\sup \N$ $\R$ में अपरिभाषित हैं ( $\overline\R$ की परिपाटियाँ एक अलग, स्पष्ट कार्य हैं)। (घ) समुच्चय संक्रियाएँ: $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ सदा सत्य है, पर $A \cap B$ के लिए कुछ भी व्यापक रूप से सत्य नहीं — वह रिक्त हो सकता है, और रिक्त न भी हो तब $\sup(A \cap B)$ $\min(\sup A, \sup B)$ से बहुत नीचे हो सकता है: $A = \{0, 2\}$ और $B = \{0, 3\}$ लीजिए, जहाँ $\sup(A \cap B) = 0$ ।

उदाहरण 10.9 (परिमित समुच्चयों के अधिकतम होते हैं — एक मौन प्रयुक्त प्रमेयिका)

प्रत्येक परिमित अरिक्त $F \subseteq \R$ का अधिकतम (और न्यूनतम) होता है। अवयवों की संख्या पर आगमन: एकल समुच्चय $\{a\}$ के लिए $\max = a$ ; यदि दावा $n$ -अवयवी समुच्चयों के लिए सत्य है और $F$ में $n + 1$ अवयव हैं, तो कोई भी $a \in F$ चुनिए: समुच्चय $F \setminus \{a\}$ का अधिकतम $m$ है, और $\max F$ $a \leq m$ होने पर $m$ है, अन्यथा $a$ । इसमें पूर्णता कहीं नहीं है — यह शुद्ध क्रम और आगमन है, जो $\Q$ में भी वैध है — फिर भी इस प्रमेयिका को एक बार ईमानदारी से कहना उचित है, क्योंकि आगे की उपपत्तियाँ उसे चुपचाप बुलाती हैं: नीचे की फ़र्श-रचना (“परिमित परास में फँसे पूर्णांकों के समुच्चय का महत्तम अवयव होता है”), अध्याय 11 का हर $\max(\abs{u_0}, \dots, \abs{u_{N-1}}, \dots)$ परिबंध, और अध्याय 13 का हर “परिमित कितने $\delta$ में से सबसे बड़ा लीजिए”। अनंत समुच्चय ही वे हैं जहाँ अधिकतम मर जाते हैं और उच्चतम कमान सँभाल लेते हैं: यह अध्याय अनंत स्थिति के लिए ही है।

प्रमेय 10.10 (आर्किमिडीज़ गुणधर्म)

प्रत्येक $x \in \R$ के लिए ऐसा $n \in \N$ है कि $n > x$ । समतुल्य रूप से: सभी $\varepsilon > 0$ और $y > 0$ के लिए कोई गुणज $n\varepsilon$ $y$ को पार कर जाता है।

उपपत्ति. मान लीजिए ऐसा नहीं है: कोई $x$ $\N$ का ऊपरी परिबंध है। तब $s = \sup \N$ विद्यमान है (प्रमेय 10.2)। $\varepsilon = 1$ के साथ प्रतिज्ञप्ति 10.4 (2) से ऐसा $n \in \N$ है कि $n > s - 1$ ; पर तब $n + 1 \in \N$ और $n + 1 > s$ , जो $s$ के ऊपरी परिबंध होने का विरोध करता है। दूसरे रूप के लिए मान लीजिए $\varepsilon > 0$ और $y > 0$ : पहला रूप $x = \frac{y}{\varepsilon}$ पर लगाने से ऐसा $n \in \N$ मिलता है कि $n > \frac{y}{\varepsilon}$ , और $\varepsilon > 0$ से गुणा करने पर (जो कठोर असमिकाएँ बनाए रखता है) $n\varepsilon > y$ मिलता है। विलोमतः, दूसरा रूप $\varepsilon = 1$ और $y = x$ के साथ $x > 0$ के लिए पहला रूप लौटा देता है, और $n = 1$ $x \leq 0$ को सँभाल लेता है: दोनों कथन कठोरतः तुल्य हैं। ∎

उदाहरण 10.11 (आर्किमिडीज़ काम पर)

तीन तात्कालिक उपयोग, जिनकी आगे लगातार आवश्यकता पड़ती है। (क) कोई धनात्मक वास्तविक संख्या हर $\frac1n$ से नीचे नहीं है: यदि $0 < \varepsilon$ , तो $n > \frac1\varepsilon$ चुनिए; तब $\frac1n < \varepsilon$ । दूसरे शब्दों में, $\R$ में कोई अतिसूक्ष्म संख्या नहीं है — अनौपचारिक “ $\frac1n$ मनचाहा छोटा हो जाता है” ठीक यही प्रमेय है। (ख) स्पष्ट देहलियाँ: $\frac{1}{n^2} \leq 10^{-6}$ के लिए $n$ कितना बड़ा होना चाहिए? इतना पर्याप्त है कि $n \geq 10^3$ — आर्किमिडीज़ गारंटी देता है कि ऐसे $n$ हैं, और बीजगणित उन्हें ढूँढ़ देता है। (ग) घातें हर परिबंध को हरा देती हैं: $2^n \geq n + 1$ (आगमन), अतः प्रत्येक $M$ के लिए $2$ की कोई घात $M$ को पार कर जाती है: यही गुणोत्तर वृद्धि अभ्यास 10.8 में द्विआधारी संख्याओं के लिए प्रयुक्त होती है। समापन का सार: आर्किमिडीज़ गुणधर्म ही “ $n$ पर्याप्त बड़ा लीजिए” रूप के हर वाक्य के पीछे की अनुमति है — अब से हम उस वाक्य का स्वतंत्र प्रयोग करेंगे, और यह उदाहरण उसका एक बार का औचित्य है।

प्रमेय 10.12 (फ़र्श फलन)

प्रत्येक $x \in \R$ के लिए ठीक एक पूर्णांक है, अर्थात् फ़र्श $\lfloor x \rfloor$ , जिसके लिए

\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 .

उपपत्ति. अस्तित्व। समुच्चय $E = \{k \in \Z : k \leq x\}$ अरिक्त है: प्रमेय 10.10 से ऐसा $m \in \N$ है कि $m > -x$ , और तब $-m < x$ , अतः $-m \in E$ । वह ऊपर से परिबद्ध भी है (किसी भी पूर्णांक $n > x$ से, जो उसी कारण से विद्यमान है), अतः परिमित परास $\intint{-m}{n}$ में फँसे पूर्णांकों का समुच्चय होने के नाते उसका एक महत्तम अवयव $k = \max E$ है। तब $k \leq x$ , और $k + 1 \notin E$ का अर्थ है $x < k + 1$ ।

अद्वितीयता। यदि $k$ और $k'$ दोनों असमिकाएँ संतुष्ट करते हैं, तो $k \leq x < k' + 1$ $k \leq k'$ देता है, और सममित रूप से $k' \leq k$ । ∎

उदाहरण 10.13 (व्यवहार में फ़र्श)

$\lfloor 3.7 \rfloor = 3$ , $\lfloor 5 \rfloor = 5$ , और $\lfloor -3.7 \rfloor = -4$ : फ़र्श नीचे जाता है, $0$ की ओर नहीं। प्रमेय 10.12 की अद्वितीयता के दो परिणाम, जिनका प्रयोग हम चुपचाप करेंगे। पहला, $n \in \Z$ के लिए

\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n ,

क्योंकि $\lfloor x \rfloor + n$ ऐसा पूर्णांक है जो $x + n$ की दोनों परिभाषक असमिकाएँ संतुष्ट करता है — और ऐसा केवल एक ही पूर्णांक करता है। दूसरा, $\lfloor \, \cdot \, \rfloor$ अह्रासमान है: यदि $x \leq y$ , तो $\lfloor x \rfloor \leq x \leq y < \lfloor y \rfloor + 1$ , और पूर्णांक $< \lfloor y \rfloor + 1$ $\leq \lfloor y \rfloor$ है। किंतु ध्यान रखिए कि व्यापक रूप से $\lfloor 2x \rfloor \neq 2\lfloor x \rfloor$ : $x = 0.6$ से $\lfloor 1.2 \rfloor = 1 \neq 0 = 2\lfloor 0.6 \rfloor$ मिलता है।

जो सचमुच सत्य है वह एक हल की हुई सर्वसमिका है, जिसे स्मरण रखना उचित है (एरमीट की, अपने सरलतम रूप में): प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए,

\lfloor x \rfloor + \Bigl\lfloor x + \frac12 \Bigr\rfloor = \lfloor 2x \rfloor .

$u \in \intco{0}{1}$ के साथ $x = \lfloor x\rfloor + u$ लिखिए और दो स्थितियों में बाँटिए। यदि $u < \frac12$ : बायाँ पक्ष $\lfloor x\rfloor + \lfloor x\rfloor = 2\lfloor x\rfloor$ है, और $2u \in \intco{0}{1}$ के साथ $2x = 2\lfloor x\rfloor + 2u$ , अतः दायाँ पक्ष भी $2\lfloor x\rfloor$ है। यदि $u \geq \frac12$ : बायाँ पक्ष $\lfloor x\rfloor + (\lfloor x\rfloor + 1)$ है, और $2u \in \intco{1}{2}$ दाएँ पक्ष को $2\lfloor x\rfloor + 1$ बना देता है। समापन का सार: $\lfloor x + \frac12\rfloor$ $x$ का निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकन है, अतः सर्वसमिका कहती है कि फ़र्श और पूर्णांकन मिलकर दुगुने का फ़र्श देते हैं — और भिन्नात्मक भाग $u$ पर स्थिति-विभाजन हर फ़र्श-सर्वसमिका के पीछे की मानक तकनीक है (अभ्यास 10.2 और 10.3 भी उसी पर चलते हैं)।

प्रमेय 10.14 ( $\Q$ और $\R \setminus \Q$ की सघनता)

किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं $x < y$ के बीच एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या होती है।

उपपत्ति. एक परिमेय। प्रमेय 10.10 से ऐसा $n \in \N^*$ चुनिए कि $n > \frac{1}{y - x}$ , अतः $ny - nx > 1$ । मान लीजिए $m = \lfloor nx \rfloor + 1$ । एक ओर $nx < \lfloor nx \rfloor + 1 = m$ (प्रमेय 10.12); दूसरी ओर $m = \lfloor nx \rfloor + 1 \leq nx + 1 < ny$ । $n$ से भाग देने पर: $x < \frac mn < y$ ।

एक अपरिमेय। पिछला बिंदु युग्म $x - \sqrt 2 < y - \sqrt 2$ पर लगाइए: कोई परिमेय $q$ उनके बीच है, और तब $q + \sqrt 2 \in \intoo{x}{y}$ अपरिमेय है (यदि $q + \sqrt 2$ परिमेय होता, तो $\sqrt 2$ भी होता)। ∎

उदाहरण 10.15 (सघनता की उपपत्ति को चलाना)

यह उपपत्ति एक कलनविधि है; आइए उसे $x = 1.414$ और $y = \sqrt 2$ पर चलाएँ। चूँकि $1.4142^2 = 1.99996164 < 2$ , अतः $\sqrt 2 > 1.4142$ , इसलिए $y - x > 0.0002$ और $\frac{1}{y - x} < 5000$ : अतः चयन $n = 5000$ वैध है। तब $nx = 7070$ , अतः $m = \lfloor 7070 \rfloor + 1 = 7071$ , और उत्पन्न परिमेय संख्या है

\frac{m}{n} = \frac{7071}{5000} = 1.4142, \qquad 1.414 < 1.4142 < \sqrt 2 .

समापन का सार: उपपत्ति को $n$ $\frac{1}{y-x}$ से केवल थोड़ा बड़ा चाहिए, और वह $x$ के आगे $\frac 1n$ का पहला गुणज लौटा देती है। सघनता कोई अमूर्त चमत्कार नहीं है — वह वेश बदला हुआ लंबा भाग है, और यही विषय सप्ताहांत समस्या (समस्या 10.1) में विस्तार से विकसित होता है।

टिप्पणी 10.16 (पूर्णता का अगला प्रयोग कहाँ)

प्रमेय 10.2 इस पुस्तक का एकमात्र अबीजीय अभिगृहीत है, और विश्लेषण की हर अस्तित्व-प्रमेय वही अभिगृहीत भिन्न वस्त्रों में है: एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय (अध्याय 11), बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास प्रमेय (अध्याय 12), मध्यवर्ती मान और चरम मान प्रमेय (अध्याय 13), और निम्न योगों के उच्चतम के रूप में समाकल की परिभाषा ही (अध्याय 15)। स्नातक वर्ष 3 का खंड माप-सिद्धांत और हिल्बर्ट समष्टियाँ इसी एक अभिगृहीत पर खड़ी करता है। जब आगे के अध्यायों की कोई उपपत्ति शून्य से कोई वास्तविक संख्या पैदा कर दे, तब छिपा हुआ उच्चतम ढूँढ़िए।

टिप्पणी 10.17 (विविक्तता और सघनता के बीच)

$\Z$ और $\Q$ $\R$ के भीतर दो विपरीत छोरों पर बैठते हैं: प्रत्येक पूर्णांक के चारों ओर लंबाई $1$ का ऐसा अंतराल है जिसमें कोई दूसरा पूर्णांक नहीं है (विविक्तता — यही फ़र्श को सुपरिभाषित बनाती है), जबकि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ हैं (सघनता)। उल्लेखनीय है कि $\R$ के योगात्मक उपसमूहों के लिए बीच में कुछ है ही नहीं: अभ्यास 10.9 सिद्ध करता है कि ऐसा उपसमूह या तो $\alpha\Z$ रूप का (विविक्त) होता है या सघन — और यही द्विभाजन अध्याय 11 में $\{\sin n\}$ की सघनता तथा समस्या 13.1 के रचनात्मक राक्षस को शक्ति देता है। साधारण समुच्चय, निस्संदेह, दोनों व्यवहार स्वतंत्र रूप से मिलाते हैं: $\Z \cup \Q\cap\intcc{0}{1}$ दूर-दूर विविक्त है और बीच में सघन।

विधि 10.18 (उच्चतम और निम्नतम के साथ समताएँ सिद्ध करना)

$\sup A = s$ सिद्ध करने के लिए: जाँचिए कि $s$ $A$ को ऊपर से परिबद्ध करता है, फिर प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए (या किसी अनुक्रम $\varepsilon = \frac 1n$ के लिए) $A$ का ऐसा अवयव प्रस्तुत कीजिए जो $s - \varepsilon$ से बड़ा हो। उच्चतमों की तुलना के लिए प्रयोग कीजिए: $A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B$ ; और सभी $a, b$ के लिए $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ , जहाँ $A + B = \{a + b\}$ (अभ्यास 10.5)। जब तक यह ज्ञात न हो कि $A$ अरिक्त और ऊपर से परिबद्ध है, तब तक $\sup A$ कभी मत लिखिए।

10.2 अंतराल

प्रतिज्ञप्ति 10.19 (अंतरालों का अभिलक्षण)

उपसमुच्चय $I \subseteq \R$ अंतराल (परिचित प्रकारों $\intoo{a}{b}$ , $\intcc{a}{b}$ , $\intco{a}{b}$ , $\intoc{a}{b}$ , अर्धरेखाएँ, $\R$ , $\emptyset$ , एकल समुच्चयों में से एक) है यदि और केवल यदि वह उत्तल हो:

\forall x, y \in I,\ \forall z \in \R, \quad x \leq z \leq y \implies z \in I .

उपपत्ति. सूचीबद्ध प्रत्येक प्रकार स्पष्टतः उत्तल है। विलोमतः, मान लीजिए $I$ उत्तल और अरिक्त है। यदि $I$ नीचे से परिबद्ध है तो $a = \inf I$ रखिए, अन्यथा $a = -\infty$ ; इसी प्रकार $b = \sup I$ या $+\infty$ । हमारा दावा है $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ (जहाँ $\pm\infty$ पर स्पष्ट परिपाटियाँ हैं)। दूसरी अंतर्विष्टि परिबंधों की परिभाषा ही है। पहली के लिए मान लीजिए $z \in \intoo{a}{b}$ : चूँकि $z > a$ , अतः $z$ निचला परिबंध नहीं है (अथवा $a = -\infty$ ), इसलिए किसी $x \in I$ के लिए $x < z$ ; इसी प्रकार किसी $y \in I$ के लिए $y > z$ ; और उत्तलता $z \in I$ रख देती है।

अब दुहरी अंतर्विष्टि $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ से प्रकार पढ़ लेना शेष है: खुले अंतराल और उसके संवृत रूप के बीच दबे हुए समुच्चय $\intoo{a}{b}$ से केवल (परिमित) सिरों की उपस्थिति या अनुपस्थिति में भिन्न होते हैं। स्पष्ट रूप से: यदि $a, b \in \R$ , तो $(a \in I,\ b \in I)$ की चारों संभावनाएँ $\intoo{a}{b}$ , $\intco{a}{b}$ , $\intoc{a}{b}$ , $\intcc{a}{b}$ देती हैं (अपकर्षी स्थितियाँ $a = b$ सहित: $a \in I$ होने पर एकल समुच्चय); यदि $a = -\infty$ और $b \in \R$ , तो $\intoo{-\infty}{b}$ या $\intoc{-\infty}{b}$ मिलता है; $a \in \R$ , $b = +\infty$ के लिए सममित रूप से; और $a = -\infty$ , $b = +\infty$ $I = \R$ देता है। हर स्थिति सूची में है: काम पूरा। ∎

टिप्पणी 10.20 (उत्तलता ही सही कसौटी क्यों है)

यह प्रतिज्ञप्ति एक ज्यामितीय परिभाषा (दस आकारों की सूची) को एक-पंक्ति की तार्किक कसौटी में बदल देती है, और व्यवहार में वही कसौटी काम आती है: यह सिद्ध करने के लिए कि कोई समुच्चय अंतराल है, कभी यह मत ढूँढ़िए कि वह दस आकारों में से कौन-सा है — उत्तलता सत्यापित कीजिए और प्रकार छाँटने का काम प्रतिज्ञप्ति पर छोड़ दीजिए। अध्याय 13 की मध्यवर्ती मान प्रमेय ठीक इसी प्रकार कही जाएगी (“अंतराल का संतत प्रतिबिंब अंतराल होता है”), और उसकी उपपत्ति उत्तलता उत्पन्न करती है, आकार नहीं।

टिप्पणी 10.21 (विस्तारित वास्तविक रेखा)

दो संकेत जोड़कर $\overline\R = \R \cup \{-\infty, +\infty\}$ में काम करना सुविधाजनक है, और परिपाटियाँ ये हैं: $A$ के ऊपर से अपरिबद्ध होने पर $\sup A = +\infty$ , तथा $\sup \emptyset = -\infty$ । तब $\R$ के प्रत्येक उपसमुच्चय का $\overline\R$ में उच्चतम होता है — यह संकेतन-सुविधा अध्याय 11 में सीमाओं के लिए स्वतंत्र रूप से प्रयुक्त होती है।

उदाहरण 10.22 ( $\overline\R$ में संगणना)

इन परिपाटियों के लागू रहते: $\sup \Z = +\infty$ , $\inf \Z = -\infty$ ; $A = \{n + (-1)^n n : n \in \N\} = \{0, 4, 0, 8, \dots\} \cup \{0\}$ के लिए $\sup A = +\infty$ (सम पद $2n$ अपरिबद्ध हैं) और $\inf A = \min A = 0$ ; तथा $\sup\emptyset = -\infty \leq \inf\emptyset = +\infty$ — अर्थात् वह एकमात्र समुच्चय जिसका उच्चतम उसके निम्नतम से छोटा है, जो स्मरण दिलाता है कि परिपाटियाँ इसलिए चुनी गई हैं कि अंतर्विष्टि के सापेक्ष $\sup$ वर्धमान और $\inf$ ह्रासमान बना रहे:

A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B \quad\text{और}\quad \inf A \geq \inf B ,

जो अब अरिक्तता की किसी शर्त के बिना वैध है। परिपाटियाँ जो नहीं देतीं वह है अंकगणित: $+\infty + (-\infty)$ और $0 \times (+\infty)$ अपरिभाषित रहते हैं, और उच्चतमों की हर बीजीय हेराफेरी को पहले यह जाँचना होगा कि वह कभी इन्हें न बनाए। विस्तारित रेखा लेखा-जोखा है, संख्या-पद्धति नहीं।

उदाहरण 10.23 (वह उच्चतम जो $\Q$ से भाग निकला)

आरंभिक टिप्पणी वाले समुच्चय $A = \{x \in \Q : x^2 < 2\}$ पर लौटिए और उसका उच्चतम $\R$ में संगणित कीजिए। वह अरिक्त ( $1 \in A$ ) और $1.5$ से ऊपर परिबद्ध है (यदि $x > 1.5$ , तो $x^2 > 2.25 > 2$ ), अतः $s = \sup A$ विद्यमान है। हमारा दावा है $s = \sqrt 2$ (अभ्यास 10.12 में बनी वास्तविक संख्या)। ऊपरी परिबंध: प्रत्येक $a \in A$ $a < \sqrt2$ संतुष्ट करता है — $a \leq 0$ के लिए यह स्पष्ट है, और $a > 0$ के लिए $a \geq \sqrt2$ $a^2 \geq 2$ दे देता। इससे छोटा कुछ काम नहीं करता: $t < \sqrt2$ दिया हो, तो सघनता (प्रमेय 10.14) ऐसा परिमेय $q$ देती है कि $\max(1, t) < q < \sqrt 2$ , और तब $q^2 < 2$ , अतः $q \in A$ $t$ को पार कर जाता है। प्रतिज्ञप्ति 10.4 से $s = \sqrt2 \notin \Q$ । समापन का सार: परिमेय संख्याओं के समुच्चय का उच्चतम परिमेय होना आवश्यक नहीं — पूर्णता ठीक यही वचन है कि $\R$ , $\Q$ के विपरीत, किसी उच्चतम को कभी भागने नहीं देता; यही उदाहरण अध्याय की आरंभिक टिप्पणी है, जो अब केवल इंगित नहीं, सिद्ध की जा चुकी है।

टिप्पणी 10.24 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि)

इस अध्याय के तीनों औज़ारों के आगे अलग-अलग जीवन हैं। उच्चतम विश्लेषण वाला आधा भाग चलाता है: एकदिष्ट सीमाएँ (अध्याय 11), समाकल की परिभाषा ही (अध्याय 15), और अध्याय 23 की ज्यामिति में किसी बिंदु की किसी उपसमष्टि से दूरी — अर्थात् वह निम्नतम जिसे लांबिक प्रक्षेप न्यूनतम में बदल देता है। फ़र्श फलन वहीं लौटता है जहाँ विविक्त संतत से मिलता है: अंक-प्रसार (इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या), डिरिक्ले का कबूतरखाना सन्निकटन (समस्या 14.1), योगों की समाकल से तुलना (अध्याय 17)। सघनता के तर्क अध्याय 13 में एक विधि बन जाते हैं: संतत फलनों की किसी सर्वसमिका को केवल $\Q$ पर जाँचना पर्याप्त है — कोशी के फलनीय समीकरण (समस्या 13.1) का आधा भाग ठीक यही चाल है। जब संदेह हो कि इस खंड की कोई उपपत्ति अपने अस्तित्व-कथन कहाँ से पाती है, तो उत्तर लगभग सदा यही अध्याय है।

10.3 अभ्यास

अभ्यास 10.1 ★

इनके उच्चतम, निम्नतम, अधिकतम, न्यूनतम — जब विद्यमान हों — उपपत्ति सहित निर्धारित कीजिए:

A = \Bigl\{\frac{1}{n} : n \in \N^*\Bigr\}, \qquad B = \Bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\Bigr\}, \qquad C = \{x \in \R : x^2 < 3\}.

हल

हल — अभ्यास 10.1.

$A$ : प्रत्येक अवयव $\leq 1$ है और $1 \in A$ : $\sup A = \max A = 1$ । निचले परिबंध: $0$ नीचे से परिबद्ध करता है; $\varepsilon > 0$ के लिए आर्किमिडीज़ ऐसा $n$ देता है कि $\frac 1n < \varepsilon$ , अतः कोई धनात्मक संख्या $A$ को नीचे से परिबद्ध नहीं करती: $\inf A = 0$ , जो प्राप्त नहीं होता (कोई न्यूनतम नहीं)।

$B$ : पद $0, -\frac12, \frac23, -\frac34, \frac45, \dots$ सम पद $\frac{n}{n+1}$ ( $n$ सम) $1$ तक पहुँचे बिना बढ़ते हैं; विषम पद $-\frac{n}{n+1}$ $-1$ तक घटते हैं। अतः $\sup B = 1$ और $\inf B = -1$ , जिनमें से कोई प्राप्त नहीं होता: न अधिकतम, न न्यूनतम। (परिबंध: सभी $b \in B$ के लिए $\abs{b} < 1$ ; और बड़े $n$ के लिए $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon$ , और नीचे भी इसी प्रकार।)

$C = \intoo{-\sqrt 3}{\sqrt 3}$ : $\sup C = \sqrt 3$ , $\inf C = -\sqrt 3$ , जिनमें से कोई प्राप्त नहीं होता।

अभ्यास 10.2 ★

सिद्ध कीजिए कि सभी $x, y \in \R$ के लिए $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ , और यह कि दोनों परिबंध प्राप्त होते हैं।

हल

हल — अभ्यास 10.2.

$u, v \in \intco{0}{1}$ के साथ $x = \lfloor x \rfloor + u$ , $y = \lfloor y \rfloor + v$ लिखिए। तब $u + v \in \intco{0}{2}$ के साथ $x + y = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + (u + v)$ । यदि $u + v < 1$ , तो $\lfloor x + y\rfloor = \lfloor x\rfloor + \lfloor y \rfloor$ ; यदि $1 \leq u + v < 2$ , तो $\lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ । दोनों स्थितियाँ होती हैं: $(x, y) = (0.2,\, 0.3)$ बाईं समता देता है, $(0.7,\, 0.8)$ दाईं।

अभ्यास 10.3 ★

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $x \in \R$ और $n \in \N^*$ के लिए $\Bigl\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \Bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor$ ।

हल

हल — अभ्यास 10.3.

मान लीजिए $k = \lfloor x \rfloor$ , अतः $k \leq x < k + 1$ । $n$ से गुणा करने पर: $nk \leq nx < nk + n$ , और फ़र्श लेने पर (जो पूर्णांकों की ओर वर्धमान संक्रिया है): $nk \leq \lfloor nx \rfloor \leq nk + n - 1$ । $n$ से भाग देने पर: $k \leq \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1$ , अतः बाहरी फ़र्श $k$ है।

अभ्यास 10.4 ★

मान लीजिए $A \subseteq B$ $\R$ के अरिक्त उपसमुच्चय हैं और $B$ परिबद्ध हैं। सिद्ध कीजिए $\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$ ।

हल

हल — अभ्यास 10.4.

$A$ का प्रत्येक अवयव $B$ में है, अतः $\sup B$ $A$ को ऊपर से परिबद्ध करता है: इसलिए $\sup A \leq \sup B$ ( $\sup A$ लघुतम ऊपरी परिबंध है)। सममित रूप से $\inf B \leq \inf A$ । अंत में $\inf A \leq \sup A$ , क्योंकि $A$ अरिक्त है: कोई भी $a \in A$ उनके बीच बैठता है।

अभ्यास 10.5 ★★

अरिक्त परिबद्ध $A, B \subseteq \R$ के लिए $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$ और $-A = \{-a : a \in A\}$ परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए:

\sup(A + B) = \sup A + \sup B, \qquad \sup(-A) = -\inf A .

हल

हल — अभ्यास 10.5.

मान लीजिए $s = \sup A$ , $t = \sup B$ । प्रत्येक $a + b \leq s + t$ : ऊपरी परिबंध। $\varepsilon > 0$ के लिए $a > s - \frac\varepsilon2$ और $b > t - \frac\varepsilon2$ (प्रतिज्ञप्ति 10.4) चुनिए: तब $a + b > s + t - \varepsilon$ । $\varepsilon$ -अभिलक्षण से $\sup(A+B) = s + t$ ।

$-A$ के लिए: $m$ $-A$ को ऊपर से परिबद्ध करता है $\iff$ $-m$ $A$ को नीचे से परिबद्ध करता है; अतः $-A$ का लघुतम ऊपरी परिबंध $A$ के महत्तम निचले परिबंध के अनुरूप है: $\sup(-A) = -\inf A$ ।

अभ्यास 10.6 ★★

मान लीजिए $f, g \colon E \to \R$ परिबद्ध फलन हैं। सिद्ध कीजिए

\sup_{x \in E}\, \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \leq \sup_{x \in E} f(x) + \sup_{x \in E} g(x),

और ऐसा उदाहरण दीजिए जिसमें असमिका कठोर हो। यह अभ्यास 10.5 का विरोध क्यों नहीं करता?

हल

हल — अभ्यास 10.6.

प्रत्येक $x$ के लिए: $f(x) + g(x) \leq \sup f + \sup g$ ; बाएँ पक्ष का उच्चतम लेने पर असमिका मिल जाती है। कठोर उदाहरण: $E = \{0, 1\}$ , $f = \mathbf{1}_{\{0\}}$ ( $0$ पर मान $1$ , अन्यथा $0$ ), $g = \mathbf{1}_{\{1\}}$ : $\sup(f + g) = 1 < 2 = \sup f + \sup g$ ।

अभ्यास 10.5 से कोई विरोध नहीं: वहाँ $a \in A$ और $b \in B$ स्वतंत्र रूप से बदलते हैं; यहाँ वही $x$ $f$ और $g$ दोनों को खिलाता है — समुच्चय $\{f(x) + g(x) : x \in E\}$ समुच्चय $\{f(x) + g(y) : x, y \in E\}$ से छोटा है।

अभ्यास 10.7 ★★

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt 2 + \sqrt 3$ अपरिमेय है। (उसका वर्ग कीजिए और $\sqrt 6$ की अपरिमेयता का प्रयोग कीजिए, जिसे अभ्यास 6.7 के द्वारा सिद्ध किया जाना है।)

हल

हल — अभ्यास 10.7.

$\sqrt 6$ अपरिमेय है: $6 = 2 \times 3$ पूर्ण वर्ग नहीं है, और $v_2(6q^2) = 1 + 2v_2(q)$ का विषम होना $6q^2 = r^2$ को रोक देता है (जैसा अभ्यास 6.7 में है)। अब मान लीजिए $x = \sqrt 2 + \sqrt 3 \in \Q$ । तब $x^2 = 5 + 2\sqrt 6 \in \Q$ , अतः $\sqrt 6 = \frac{x^2 - 5}{2} \in \Q$ : विरोधाभास। अतः $\sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \Q$ ।

अभ्यास 10.8 ★★

सिद्ध कीजिए कि द्विआधारी परिमेय संख्याओं का समुच्चय $D = \bigl\{\frac{m}{2^n} : m \in \Z,\ n \in \N\bigr\}$ $\R$ में सघन है: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के बीच एक द्विआधारी परिमेय संख्या होती है।

हल

हल — अभ्यास 10.8.

मान लीजिए $x < y$ । ऐसा $n \in \N$ चुनिए कि $2^n > \frac{1}{y - x}$ (आर्किमिडीज़: सरल आगमन से $2^n \geq n + 1$ , अतः $2$ की कोई घात किसी भी वास्तविक संख्या को पार कर जाती है)। फिर, $n$ के स्थान पर $2^n$ रखकर प्रमेय 10.14 की उपपत्ति की भाँति: $m = \lfloor 2^n x \rfloor + 1$ $x < \frac{m}{2^n} < y$ संतुष्ट करता है। अतः $D$ सघन है।

अभ्यास 10.9 ★★★

मान लीजिए $G$ $(\R, +)$ का ऐसा उपसमूह है कि $G \neq \{0\}$ । $\alpha = \inf\,(G \cap \intoo{0}{+\infty})$ रखिए। सिद्ध कीजिए:

यदि $\alpha > 0$ , तो $G = \alpha\Z$ ;
यदि $\alpha = 0$ , तो $G$ $\R$ में सघन है।

उससे निकालिए कि $\Z + \sqrt 2\,\Z$ $\R$ में सघन है।

हल

हल — अभ्यास 10.9.

मान लीजिए $\alpha > 0$ । पहले, $\alpha \in G$ । मान लीजिए ऐसा नहीं है: $\varepsilon = \alpha$ के साथ निम्नतम के $\varepsilon$ -अभिलक्षण से ऐसा $g \in G$ है कि $\alpha < g < 2\alpha$ (बाईं ओर कठोर, क्योंकि $\alpha \notin G$ ); फिर $\varepsilon = g - \alpha$ के साथ ऐसा $h \in G$ है कि $\alpha < h < g$ । अब $g - h \in G$ और $0 < g - h < g - \alpha < \alpha$ : अर्थात् $G \cap \intoo{0}{+\infty}$ का कोई अवयव अपने निम्नतम से नीचे, जो असंगत है। अतः $\alpha \in G$ , और $\alpha\Z \subseteq G$ ( $G$ समूह है)। विलोमतः, $x \in G$ के लिए मान लीजिए $k = \lfloor x/\alpha \rfloor$ : तब $x - k\alpha \in G$ और $0 \leq x - k\alpha < \alpha$ , और $\alpha$ की परिभाषा $x - k\alpha = 0$ पर बाध्य कर देती है। अतः $G = \alpha\Z$ ।
मान लीजिए $\alpha = 0$ , और मान लीजिए $x < y$ । ऐसा $g \in G$ है कि $0 < g < y - x$ । $k = \lfloor x/g \rfloor + 1$ वाला गुणज $kg$ $x < kg \leq x + g < y$ संतुष्ट करता है, और $kg \in G$ : अर्थात् सघनता।

$G = \Z + \sqrt 2\,\Z$ $(\R, +)$ का उपसमूह है। वह $\alpha\Z$ रूप का नहीं है: अन्यथा $1 = p\alpha$ और $\sqrt 2 = q\alpha$ ( $p, q \in \Z$ ) से $\sqrt 2 = \frac qp \in \Q$ मिलता, जो विरोधाभास है। द्विभाजन से $G$ $\R$ में सघन है।

अभ्यास 10.10 ★★★

धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अरिक्त समुच्चयों $A, B$ के लिए $AB = \{ab : a \in A, b \in B\}$ रखिए। सिद्ध कीजिए $\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$ (परिबद्ध स्थिति में), और उदाहरण से दिखाइए कि धनात्मकता अनिवार्य है।

हल

हल — अभ्यास 10.10.

मान लीजिए $s = \sup A > 0$ , $t = \sup B > 0$ । $a \in A$ के लिए $b \in B$ : $ab \leq st$ (धनात्मक संख्याओं के बीच की असमिकाओं को गुणा करके)। $0 < \varepsilon < \min(s, t)$ के लिए: $a > s - \varepsilon$ और $b > t - \varepsilon$ चुनिए; तब

ab > (s - \varepsilon)(t - \varepsilon) = st - \varepsilon(s + t) + \varepsilon^2 > st - \varepsilon (s + t),

और $\varepsilon(s+t)$ को मनचाहा छोटा किया जा सकता है: $\varepsilon$ -अभिलक्षण से (इस रूप में: कोई संख्या $< st$ $AB$ को ऊपर से परिबद्ध नहीं करती) $\sup AB = st$ ।

धनात्मकता अनिवार्य है: $A = B = \{-1, 0\}$ $AB = \{0, 1\}$ , $\sup AB = 1$ देता है, जबकि $\sup A \cdot \sup B = 0 \times 0 = 0$ ।

अभ्यास 10.11 ★★

अरिक्त परिबद्ध $A \subseteq \R$ के लिए व्यास परिभाषित कीजिए

\operatorname{diam} A = \sup\,\{\abs{a - a'} : a, a' \in A\} .

सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{diam} A = \sup A - \inf A$ , और यह कि $\intcc{\inf A}{\sup A}$ $A$ को समेटने वाला लघुतम संवृत अंतराल है।

हल

हल — अभ्यास 10.11.

$s = \sup A$ , $i = \inf A$ लिखिए। $a, a' \in A$ के लिए: $a \leq s$ और $a' \geq i$ $a - a' \leq s - i$ देते हैं; सममिति से $\abs{a - a'} \leq s - i$ , अतः $s - i$ अंतरों के समुच्चय को ऊपर से परिबद्ध करता है। $\varepsilon > 0$ के लिए $a > s - \frac\varepsilon2$ और $a' < i + \frac\varepsilon2$ चुनिए (प्रतिज्ञप्ति 10.4 और निम्नतम के लिए उसका दर्पण): तब $\abs{a - a'} \geq a - a' > s - i - \varepsilon$ । $\varepsilon$ -अभिलक्षण से $\operatorname{diam} A = s - i$ ।

प्रत्येक $a \in A$ $i \leq a \leq s$ संतुष्ट करता है, अतः $A \subseteq \intcc{i}{s}$ , जो लंबाई $\operatorname{diam} A$ का संवृत अंतराल है। यदि कोई संवृत अंतराल $\intcc{u}{v}$ $A$ को समेटता है, तो $v$ $A$ का ऊपरी परिबंध है और $u$ निचला, अतः $u \leq i$ और $v \geq s$ : $\intcc{i}{s} \subseteq \intcc{u}{v}$ । अतः $\intcc{i}{s}$ सबसे छोटा है।

अभ्यास 10.12 ★★★

मान लीजिए $y > 0$ और $E = \{x \geq 0 : x^2 \leq y\}$ । सिद्ध कीजिए कि $E$ अरिक्त और ऊपर से परिबद्ध है, और यह कि $s = \sup E$ $s^2 = y$ संतुष्ट करता है (हर स्थिति में एक छोटा $h > 0$ प्रस्तुत करके, जो उच्चतम की परिभाषा का विरोध करे, $s^2 < y$ और $s^2 > y$ को हटा दीजिए)। उससे निकालिए कि प्रत्येक $y > 0$ का अद्वितीय वर्गमूल $\sqrt y > 0$ है और $y \mapsto \sqrt y$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर वर्धमान है।

हल

हल — अभ्यास 10.12.

$0 \in E$ , अतः $E \neq \emptyset$ । यदि $x > \max(1, y)$ , तो $x^2 > x > y$ , अतः $E$ $\max(1, y)$ से ऊपर परिबद्ध है: $s = \sup E$ विद्यमान है (प्रमेय 10.2), और $s \geq \min(1, y) > 0$ , क्योंकि $\min(1, y) \in E$ : वस्तुतः यदि $y \geq 1$ , तो $1^2 = 1 \leq y$ , और यदि $y < 1$ , तो $y^2 < y$ ।

$s^2 < y$ असंभव है। ऐसा $0 < h < 1$ चुनिए कि $h < \frac{y - s^2}{2s + 1}$ । तब

(s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2 \leq s^2 + (2s + 1)h < y ,

अतः $s + h \in E$ , जो $s$ के $E$ को ऊपर से परिबद्ध करने का विरोध करता है।

$s^2 > y$ असंभव है। ऐसा $0 < h < s$ चुनिए कि $h < \frac{s^2 - y}{2s}$ । तब $(s - h)^2 = s^2 - 2sh + h^2 > s^2 - 2sh > y$ ; प्रत्येक $x \in E$ $x^2 \leq y < (s - h)^2$ संतुष्ट करता है, अतः $x < s - h$ (दोनों $\geq 0$ हैं): अर्थात् $s - h$ $E$ का ऐसा ऊपरी परिबंध है जो $s$ से छोटा है, जो लघुतमता का विरोध करता है।

अतः $s^2 = y$ । अद्वितीयता: यदि $0 < s < s'$ , तो $s^2 < s'^2$ , अतः दो भिन्न धनात्मक मूलों का वर्ग $y$ नहीं हो सकता। एकदिष्टता: यदि $0 < y < y'$ , तो $\sqrt y \neq \sqrt{y'}$ , और $\sqrt y > \sqrt{y'}$ वर्ग करने पर $y > y'$ देता: अतः $\sqrt y < \sqrt{y'}$ ।

10.4 समस्या: अंक-प्रसार और परिमेय संख्याओं की लय

समस्या 10.1

सप्ताहांत समस्या — $b$ -आदिक प्रसार: अस्तित्व, अद्वितीयता, और आवर्तिता $\Q$ को अभिलक्षित करती है

$\intco{0}{1}$ की प्रत्येक वास्तविक संख्या का प्रत्येक आधार $b \geq 2$ में अंक-प्रसार होता है; अंक $b - 1$ की अंतहीन मालाओं पर रोक लगा देने पर वह प्रसार अद्वितीय हो जाता है; और वह ठीक तब अंततः आवर्ती होता है जब संख्या परिमेय हो। यह समस्या तीनों तथ्य केवल पूर्णता अभिगृहीत से सिद्ध करती है — कोई अनुक्रम नहीं, कोई श्रेणी नहीं: केवल उच्चतम, आर्किमिडीज़ गुणधर्म और फ़र्श फलन — और अंक-रूप में कैंटर के विकर्ण तर्क पर समाप्त होती है। आगे सर्वत्र $b \geq 2$ एक नियत पूर्णांक है (आधार), अंक $\intint{0}{b-1}$ का अवयव है, और अंक-माला $(d_n)_{n \geq 1}$ उचित तब है जब वह अंततः $b - 1$ के बराबर न हो जाए (अर्थात्: प्रत्येक $N$ के लिए ऐसा $n > N$ है कि $d_n \leq b - 2$ )।

भाग I — हाथ से अंक। आधार $b$ में $p$ का $q$ से लंबा भाग: वर्तमान शेषफल को $b$ से गुणा कीजिए, $q$ से भाग दीजिए, भागफल को अगला अंक लिखिए, और शेषफल रख लीजिए।

आधार $10$ में कलनविधि को $\frac 18$ पर और $\frac 17$ पर चलाइए, और हर पद पर अंक तथा शेषफल लिखते जाइए। जाँचिए कि $\frac 17$ के शेषफल $1, 3, 2, 6, 4, 5$ में चक्कर लगाते हैं और अंक $142857$ फिर सदा के लिए दोहराते हैं।
$\frac 13$ और $\frac{5}{16}$ के आधार- $2$ प्रसार, तथा $\frac 12$ का आधार- $3$ प्रसार संगणित कीजिए। देखिए: एक संख्या समाप्त हो जाती है, दो दोहराती हैं — और $\frac 12$ , जो आधार $10$ में इतना सीधा है, आधार $3$ में सदा दोहराता रहता है।
न्यूनतम पदों में $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ के लिए दिखाइए कि कलनविधि से बने अंक अंततः सभी $0$ हैं यदि और केवल यदि किसी $N$ के लिए शेषफल $b^N p \bmod q$ लुप्त हो जाए, यदि और केवल यदि $q$ किसी घात $b^N$ को विभाजित करे, यदि और केवल यदि $q$ का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड $b$ को विभाजित करे। जाँचिए: $\frac{1}{20}$ आधार $10$ में समाप्त होता है, $3$ में नहीं।
कटाई $s_n = \lfloor b^n x \rfloor / b^n$ परिभाषित कीजिए। $x = \sqrt 2$ और $b = 10$ के लिए $s_0, \dots, s_4$ की संगणना कीजिए, और हर पद पर सत्यापित कीजिए कि दो क्रमागत वर्ग $2$ को घेर लेते हैं (उदाहरणार्थ $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ ), तथा हर बार $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ जाँचिए।

भाग II — उच्चतम से अस्तित्व। $x \in \intco{0}{1}$ नियत कीजिए और $A_n = \lfloor b^n x \rfloor$ तथा $n \geq 1$ के लिए $d_n = A_n - b\,A_{n-1}$ रखिए।

दिखाइए $A_0 = 0$ और $b\,A_{n-1} \leq A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ ; निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $d_n$ एक अंक है।
दिखाइए कि $s_n := A_n b^{-n}$ यह संतुष्ट करता है

$s_n = \sum_{k=1}^{n} d_k\,b^{-k} \qquad\text{और}\qquad s_n \leq x < s_n + b^{-n} .$
आगमन से $b^n \geq n + 1$ सिद्ध कीजिए, फिर दिखाइए कि $(s_n)$ अह्रासमान है और $x = \sup_n s_n$ (प्रतिज्ञप्ति 10.4 और प्रमेय 10.10 का प्रयोग कीजिए)।
दिखाइए कि माला $(d_n)$ उचित है: यदि सभी $k > N$ के लिए $d_k = b - 1$ , तो परिमित गुणोत्तर योग से $n > N$ के लिए $s_n$ संगणित कीजिए और प्रश्न 6 का विरोध कीजिए।
विलोमतः, मान लीजिए $(e_n)_{n \geq 1}$ कोई उचित अंक-माला है और $t_n = \sum_{k=1}^n e_k b^{-k}$ । दिखाइए कि $y = \sup_n t_n$ विद्यमान है, $\intco{0}{1}$ में स्थित है, और प्रत्येक $n$ के लिए $t_n \leq y < t_n + b^{-n}$ संतुष्ट करता है (कठोर असमिका के लिए $m > n$ वाला अंक $e_m \leq b - 2$ प्रयोग कीजिए)। उससे $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ निकालिए, और फिर यह कि प्रश्न 5 के अर्थ में $y$ के अंक ठीक $e_n$ हैं।

भाग III — अद्वितीयता, क्रम, विस्थापन।

प्रश्न 5–9 को $b$ -आदिक प्रसार प्रमेय में जोड़िए: प्रतिचित्रण $x \mapsto (d_n)$ और $(e_n) \mapsto \sup_n t_n$ परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन हैं, जो $\intco{0}{1}$ और उचित अंक-मालाओं के समुच्चय के बीच हैं। विशेष रूप से किन्हीं दो भिन्न उचित मालाओं का मान एक नहीं होता।
अब अनुचित मालाएँ भी मानिए। दिखाइए कि जिस माला के लिए सभी $n > M$ पर $e_n = b - 1$ हो (जहाँ $M \geq 0$ न्यूनतम है), उसका मान $t_M + b^{-M}$ है; निष्कर्ष निकालिए कि आधार $10$ में $0.999\dots = 1$ , और यह कि दो अंक-निरूपण वाली वास्तविक संख्याएँ ठीक $b$ -आदिक भिन्नें $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ हैं — शेष हर वास्तविक संख्या का, अनुचित मालाओं के बीच भी, केवल एक निरूपण है।
सिद्ध कीजिए कि प्रश्न 10 का एकैकी आच्छादन कोशीय क्रम के लिए क्रम-संरक्षी है: यदि $x$ और $y$ की उचित मालाएँ पहली बार सूचकांक $m$ पर भिन्न होती हैं, तो $x < y$ यदि और केवल यदि $d_m < e_m$ ।
(विस्थापन प्रमेयिका) मान लीजिए $x \in \intco{0}{1}$ के अंक $(d_n)$ हैं। दिखाइए कि $bx$ के भिन्नात्मक भाग के अंक $(d_{n+1})_{n \geq 1}$ हैं (पूर्णांक $K$ के लिए $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ का प्रयोग करके $\lfloor b^n(bx - A_1)\rfloor$ संगणित कीजिए), और आगमन से निकालिए कि $b^m x$ के भिन्नात्मक भाग के अंक $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ हैं।

भाग IV — परिमेयता ही आवर्तिता है। मान लीजिए $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ न्यूनतम पदों में है और $r_n = b^n p \bmod q$ $b^n p$ को $q$ से भाग देने पर यूक्लिडीय भाग का शेषफल है।

दिखाइए $A_n = \dfrac{b^n p - r_n}{q}$ और $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ ।
दिखाइए $d_n = \Bigl\lfloor \dfrac{b\,r_{n-1}}{q} \Bigr\rfloor$ : अर्थात् हर अंक केवल पिछले शेषफल का फलन है। यही भाग I का लंबा भाग है।
$r_0, \dots, r_q$ पर कबूतरखाना सिद्धांत (उपप्रमेय 2.3) लगाइए और निष्कर्ष निकालिए: प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार अंततः आवर्ती है, जिसका पूर्वावर्त और आवर्त दोनों अधिक से अधिक $q$ हैं।
विलोमतः, मान लीजिए $y \in \intco{0}{1}$ के अंक शुद्ध रूप से आवर्ती हैं: सभी $n \geq 1$ के लिए $d_{n+T} = d_n$ । विस्थापन प्रमेयिका और प्रश्न 10 की अद्वितीयता का प्रयोग करके दिखाइए कि $b^T y$ का भिन्नात्मक भाग $y$ के बराबर है, और $(b^T - 1)\,y \in \N$ निकालिए: अतः $y$ परिमेय है और उसका हर $b^T - 1$ को विभाजित करता है। क्रियाविधि $0.(142857)$ पर सत्यापित कीजिए: $142857 \times 7 = 999999$ ।
विस्थापन करके अंततः आवर्ती स्थिति सँभालिए, और आवर्तिता कसौटी कहिए: $x \in \intco{0}{1}$ परिमेय है यदि और केवल यदि उसका उचित $b$ -आदिक प्रसार अंततः आवर्ती हो — और यह किसी एक आधार में तभी होता है जब सभी आधारों में हो।
$\gcd(q, b) = 1$ वाले $x = \frac 1q$ के लिए दिखाइए कि प्रसार शुद्ध रूप से आवर्ती है और उसका लघुतम आवर्त वह लघुतम $T \geq 1$ है जिसके लिए $b^T \equiv 1 \pmod q$ ( $q$ के सापेक्ष $b$ की गुणात्मक कोटि)। जाँचिए कि $q = 7$ , $b = 10$ के लिए $7$ के सापेक्ष $10$ की घातें $3, 2, 6, 4, 5, 1$ में चलती हैं: कोटि $6$ , जो प्रश्न 1 से मेल खाती है।

भाग V — लाभांश और विकर्ण।

मान लीजिए $x^*$ $\intco{0}{1}$ की वह वास्तविक संख्या है जिसके आधार- $10$ अंक त्रिभुजीय स्थानों $\frac{j(j + 1)}{2}$ ( $j \geq 1$ ) पर $1$ हैं और अन्यत्र $0$ : $x^* = 0.101001000100001\dots$ दिखाइए कि उसकी अंक-माला उचित है पर अंततः आवर्ती नहीं (आवर्त $T$ होने पर अधिक से अधिक $T$ के अंतरालों पर इकाइयाँ आनी पड़तीं, पर अंतराल बढ़ते जाते हैं), और निष्कर्ष निकालिए कि $x^*$ अपरिमेय है: अर्थात् ऐसी संख्या जिसकी अपरिमेयता शुद्ध लय से सिद्ध हुई।
दिखाइए कि प्रत्येक आधार $b$ के लिए समुच्चय $\{m/b^n : m \in \Z, n \in \N\}$ $\R$ में सघन है (अभ्यास 10.8 का सामान्यीकरण), और यह कि प्रत्येक परिमेय $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ का आधार $q$ में समाप्त होने वाला प्रसार है। उपदेश: समाप्त होना (संख्या, आधार) युग्म का गुणधर्म है; आवर्तिता — अर्थात् परिमेयता — आंतरिक है।
(कैंटर का विकर्ण) मान लीजिए $k \mapsto x_k$ $\N^*$ से $\intco{0}{1}$ तक कोई प्रतिचित्रण है। अंक-माला इस प्रकार परिभाषित कीजिए: $e_k = 1$ यदि $x_k$ का $k$ -वाँ अंक $1$ से भिन्न हो, और अन्यथा $e_k = 2$ । दिखाइए कि $(e_k)$ उचित है, कि उसका मान $y$ $\intco{0}{1}$ में है, और यह कि प्रत्येक $k$ के लिए $y \neq x_k$ । निष्कर्ष निकालिए: कोई भी प्रतिचित्रण $\N^* \to \intco{0}{1}$ आच्छादक नहीं है। (गणनीयता की शब्दावली और इस प्रमेय का असली घर अध्याय 12 है।)
दिखाइए कि यदि $x$ और $y$ के उचित प्रसार सूचकांक $n$ तक मेल खाते हैं, तो $\abs{x - y} < b^{-n}$ , और आधार $10$ में $x = 0.1$ , $y = 0.0999$ से विलोम का खंडन कीजिए: संख्याओं की निकटता अंकों के मेल को बाध्य नहीं करती। दोष किन वास्तविक संख्याओं का है?
आधार $b = 2$ में $x = \frac{1}{10}$ पर भाग IV चलाइए: शेषफल और अंक तब तक संगणित कीजिए जब तक वे चक्कर न लगाने लगें, और निष्कर्ष निकालिए $\frac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2$ , जिसका पूर्वावर्त $1$ और आवर्त $4$ है। प्रश्न 3 के द्वारा समझाइए कि कोई भी परिमित द्विआधारी माला $\frac{1}{10}$ के बराबर क्यों नहीं होगी — यही कारण है कि संगणक का प्लवन-बिंदु $0.1 + 0.2$ ठीक-ठीक $0.3$ नहीं होता।
संश्लेषण। एक-एक वाक्य में: उपपत्ति ने कहाँ प्रयोग किया (क) पूर्णता, (ख) आर्किमिडीज़ गुणधर्म, (ग) फ़र्श की अद्वितीयता वाला उपवाक्य, (घ) कबूतरखाना सिद्धांत? और उपदेश: $\intco{0}{1}$ उचित अंक-मालाओं से पूरी निष्ठा के साथ कूटित हो जाता है, और परिमेयता आवर्तिता के रूप में पढ़ ली जाती है — फिर भी विश्लेषण अंकों के बदले उच्चतम को पसंद करता है। क्यों? (दो अंक-मालाओं को जोड़ने पर विचार कीजिए।)

हल

हल — समस्या 10.1.

1. $\frac 18$ के लिए: $10 = 8 \cdot 1 + 2$ , $20 = 8 \cdot 2 + 4$ , $40 = 8 \cdot 5 + 0$ ; अंक $1, 2, 5$ , शेषफल $0$ , और फिर केवल शून्य: $\frac 18 = 0.125$ । $\frac 17$ के लिए: $10 = 7 \cdot 1 + 3$ , $30 = 7 \cdot 4 + 2$ , $20 = 7 \cdot 2 + 6$ , $60 = 7 \cdot 8 + 4$ , $40 = 7 \cdot 5 + 5$ , $50 = 7 \cdot 7 + 1$ : अंक $1, 4, 2, 8, 5, 7$ , शेषफल $3, 2, 6, 4, 5, 1$ । शेषफल $r = 1$ पर लौट आया है, अतः वही छह पद सदा के लिए अक्षरशः दोहराते हैं: $\frac 17 = 0.(142857)$ , और शेषफल $1, 3, 2, 6, 4, 5$ में चक्कर लगाते हैं।

2. आधार $2$ ( $r_0 = 1$ ) में $\frac 13$ : $2 = 3 \cdot 0 + 2$ , $4 = 3 \cdot 1 + 1$ , और $r = 1$ फिर लौट आता है: $\frac 13 = (0.\overline{01})_2$ । आधार $2$ में $\frac{5}{16}$ : $10 = 16 \cdot 0 + 10$ , $20 = 16 \cdot 1 + 4$ , $8 = 16 \cdot 0 + 8$ , $16 = 16 \cdot 1 + 0$ : $\frac{5}{16} = (0.0101)_2$ , जो समाप्त हो जाता है। आधार $3$ में $\frac 12$ : $3 = 2 \cdot 1 + 1$ , और $r = 1$ तुरंत लौट आता है: $\frac 12 = (0.\overline{1})_3$ ।

3. $N$ पदों के बाद कलनविधि का शेषफल $r_N = b^N p \bmod q$ है (औपचारिक उपपत्ति प्रश्न 14 में; यहाँ यह केवल यह देखना है कि हर पद शेषफल को $b$ से गुणा करता है और $q$ के सापेक्ष घटा देता है)। आगे के सभी अंक $0$ हैं यदि और केवल यदि किसी $r_N = 0$ , अर्थात् $q \mid b^N p$ ; और चूँकि $\gcd(p, q) = 1$ , गाउस की प्रमेयिका $q \mid b^N$ देती है। यदि $q \mid b^N$ , तो $q$ का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड $b^N$ को विभाजित करता है, अतः (अभाज्यता से) $b$ को भी। विलोमतः, यदि $q = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ का प्रत्येक अभाज्य $b$ को विभाजित करता है, तो $A = \max_i a_i$ के साथ प्रत्येक $p_i^{a_i}$ $b^A$ को विभाजित करता है, और $p_i^{a_i}$ जोड़ों में सहअभाज्य हैं, अतः $q \mid b^A$ । $q = 20 = 2^2 \cdot 5$ के लिए: दोनों अभाज्य $10$ को विभाजित करते हैं ( $\frac{1}{20} = 0.05$ ), पर $2 \nmid 3$ , अतः आधार $3$ में $\frac{1}{20}$ सदा दोहराता रहता है।

4. $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ $s_0 = 1$ देता है। फिर $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ : $\lfloor 10\sqrt 2 \rfloor = 14$ , $s_1 = 1.4$ । इसके बाद $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ : $s_2 = 1.41$ ; $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ : $s_3 = 1.414$ ; $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ : $s_4 = 1.4142$ । हर स्थिति में दिखाई गई असमिकाएँ ठीक $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ कहती हैं, जो $10^n \sqrt 2$ के फ़र्श की परिभाषा है।

5. $A_0 = \lfloor x \rfloor = 0$ , क्योंकि $0 \leq x < 1$ । $A_{n-1} \leq b^{n-1} x < A_{n-1} + 1$ से, $b$ से गुणा कीजिए:

b\,A_{n-1} \leq b^n x < b\,A_{n-1} + b .

पूर्णांक $b\,A_{n-1}$ $\leq b^n x$ है, अतः $b\,A_{n-1} \leq A_n$ ; और $b\,A_{n-1} + b$ के पूर्णांक होने के साथ $b^n x < b\,A_{n-1} + b$ $A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ पर बाध्य कर देता है। अतः $0 \leq d_n = A_n - b\,A_{n-1} \leq b - 1$ : अर्थात् एक अंक।

6. दूरबीनी: $d_k b^{-k} = A_k b^{-k} - A_{k-1} b^{-(k-1)}$ , अतः

\sum_{k=1}^n d_k b^{-k} = A_n b^{-n} - A_0 = s_n .

$A_n \leq b^n x < A_n + 1$ को $b^n$ से भाग देने पर $s_n \leq x < s_n + b^{-n}$ मिलता है।

7. आगमन: $b^0 = 1 \geq 1$ , और $b^{n+1} = b \cdot b^n \geq 2(n + 1) \geq n + 2$ । एकदिष्टता: $s_n - s_{n-1} = d_n b^{-n} \geq 0$ । प्रत्येक $s_n \leq x$ (प्रश्न 6): अतः $x$ $\{s_n\}$ का ऊपरी परिबंध है। $\varepsilon > 0$ के लिए आर्किमिडीज़ गुणधर्म ऐसा $n$ देता है कि $n + 1 > \frac1\varepsilon$ , अतः $b^{-n} < \varepsilon$ , और तब प्रश्न 6 से $s_n > x - b^{-n} > x - \varepsilon$ । प्रतिज्ञप्ति 10.4 से $x = \sup_n s_n$ ।

8. मान लीजिए सभी $k > N$ के लिए $d_k = b - 1$ । $n > N$ के लिए परिमित गुणोत्तर योग देता है

s_n = s_N + (b - 1)\sum_{k=N+1}^{n} b^{-k} = s_N + b^{-N} - b^{-n} .

अतः प्रत्येक $n$ के लिए $x \geq s_n = s_N + b^{-N} - b^{-n}$ ; अंतिम पद को किसी भी $\varepsilon$ से नीचे सिकोड़ने पर (प्रश्न 7) $x \geq s_N + b^{-N}$ । पर कोटि $N$ पर प्रश्न 6 कहता है $x < s_N + b^{-N}$ : विरोधाभास। अतः माला $(d_n)$ उचित है।

9. परिबद्धता: $t_n \leq (b-1)\sum_{k=1}^n b^{-k} = 1 - b^{-n} < 1$ , और $(t_n)$ अह्रासमान है, अतः $y = \sup t_n$ विद्यमान है और $0 \leq y \leq 1$ । $n$ नियत कीजिए। दुतरफ़ा आकलन के लिए: $t_n \leq y$ स्पष्ट है। उचितता से ऐसा $m > n$ चुनिए कि $e_m \leq b - 2$ । $p \geq m$ के लिए:

t_p - t_n = \sum_{k=n+1}^{p} e_k b^{-k} \leq (b^{-n} - b^{-p}) - b^{-m} < b^{-n} - b^{-m},

जहाँ बीच का योग सर्व- $(b-1)$ अधिकतम के सामने कम से कम $b^{-m}$ खो देता है; और $p \leq m$ के लिए भी $t_p \leq t_m \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ (एकदिष्टता और स्थिति $p = m$ से)। अतः प्रत्येक $t_p \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ , इसलिए $y \leq t_n + b^{-n} - b^{-m} < t_n + b^{-n}$ । ( $n = 0$ के साथ: $y < 1$ , अतः $y \in \intco{0}{1}$ ।) अब $b^n t_n = \sum_{k \leq n} e_k b^{n-k}$ पूर्णांक है, और $b^n t_n \leq b^n y < b^n t_n + 1$ : अतः $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ । अंत में $y$ के अंक: $d_n(y) = b^n t_n - b \cdot b^{n-1} t_{n-1} = b^n(t_n - t_{n-1}) = e_n$ ।

10. प्रश्न 9 कहता है: (माला का मान) के अंक (वही माला) हैं; प्रश्न 5–8 कहते हैं: ( $x$ के अंक) ऐसी उचित माला बनाते हैं जिसकी कटाइयों का उच्चतम $x$ है (प्रश्न 7)। अतः दोनों प्रतिचित्रण दोनों क्रमों में तत्समक बनते हैं: वे $\intco{0}{1}$ और उचित मालाओं के बीच परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन हैं। यदि दो उचित मालाओं का मान बराबर होता, तो अंक-प्रतिचित्रण लगाने पर वे बराबर हो जातीं: अर्थात् अद्वितीयता। यही $b$ -आदिक प्रसार प्रमेय है।

11. मान लीजिए $n > M$ के लिए $e_n = b - 1$ , जहाँ $M \geq 0$ न्यूनतम है। प्रश्न 8 की भाँति $n \geq M$ के लिए $t_n = t_M + b^{-M} - b^{-n}$ , अतः मान $\sup t_n = t_M + b^{-M}$ है। यदि $M = 0$ , तो मान $0 + 1 = 1$ है: आधार $10$ में ठीक-ठीक $0.999\dots = 1$ — सन्निकट नहीं। यदि $M \geq 1$ , तो न्यूनतमता $e_M \leq b - 2$ देती है और मान है

t_M + b^{-M} = \frac{b^M t_M + 1}{b^M} \in \intoo{0}{1},

अर्थात् एक $b$ -आदिक भिन्न, जिसका उचित प्रसार $e_1 \dots e_{M-1}\,(e_M + 1)\,000\dots$ है (समाप्त होने वाली माला उचित होती है, और उसका मान वही संख्या है)। विलोमतः, जिस वास्तविक संख्या के दो निरूपण हों उनमें से एक अनुचित होना चाहिए (उचितता निरूपण को कील देती है, प्रश्न 10), अतः वह इसी रूप की होगी। और अंतिम अशून्य अंक $d_N$ के साथ लिखी प्रत्येक $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ का अनुचित जुड़वाँ $d_1 \dots d_{N-1}(d_N - 1)(b-1)(b-1)\dots$ होता ही है: अर्थात् ठीक $b$ -आदिक भिन्नों के दो नाम हैं, शेष सभी वास्तविक संख्याओं का एक।

12. मान लीजिए मालाएँ $m - 1$ तक मेल खाती हैं, उभयनिष्ठ कटाई $P = s_{m-1}$ है, और $d_m < e_m$ । प्रश्न 9 से (कोटि $m$ पर कठोर ऊपरी आकलन) $x < P + d_m b^{-m} + b^{-m} = P + (d_m + 1)b^{-m} \leq P + e_m b^{-m} \leq y$ , जहाँ अंतिम पद इसलिए कि $P + e_m b^{-m}$ $y$ की कटाई $t_m \leq y$ है। अतः $d_m < e_m \implies x < y$ ; भूमिकाएँ बदलने पर $e_m < d_m \implies y < x$ ; और चूँकि मालाएँ $m$ पर भिन्न हैं, इनमें से एक सत्य है। दोनों दिशाएँ निकल आती हैं।

13. मान लीजिए $z = bx - A_1 \in \intco{0}{1}$ (वस्तुतः $A_1 \leq bx < A_1 + 1$ )। $n \geq 0$ के लिए: $b^n A_1 \in \Z$ के साथ $b^n z = b^{n+1} x - b^n A_1$ , अतः $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ से ( $K$ पूर्णांक),

A_n(z) = A_{n+1}(x) - b^n A_1(x) .

अतः $d_n(z) = A_n(z) - b\,A_{n-1}(z) = A_{n+1} - b^n A_1 - b\,A_n + b^n A_1 = d_{n+1}(x)$ । अर्थात् $bx$ का भिन्नात्मक भाग विस्थापित अंक धारण करता है; $m$ बार दोहराने पर $b^m x$ के भिन्नात्मक भाग के अंक $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ होते हैं।

14. यूक्लिडीय भाग: $0 \leq r_n < q$ के साथ $b^n p = q\,Q_n + r_n$ । $q$ से भाग दीजिए: $0 \leq \frac{r_n}{q} < 1$ के साथ $b^n x = Q_n + \frac{r_n}{q}$ , अतः $Q_n = \lfloor b^n x \rfloor = A_n$ , जिससे $A_n = \frac{b^n p - r_n}{q}$ मिलता है। पुनरावृत्ति के लिए: $b^n p = b(q\,A_{n-1} + r_{n-1}) = q\,(b\,A_{n-1}) + b\,r_{n-1}$ , अतः $b^n p$ और $b\,r_{n-1}$ $q$ के गुणज से भिन्न हैं: $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ ।

15. $b\,r_{n-1}$ को $q$ से भाग दीजिए: $c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$ के साथ $b\,r_{n-1} = q\,c + r_n$ । प्रश्न 14 के प्रदर्शन में प्रतिस्थापित करने पर $b^n p = q(b\,A_{n-1} + c) + r_n$ , और यूक्लिडीय भाग की अद्वितीयता $A_n = b\,A_{n-1} + c$ की पहचान करा देती है, अर्थात् $d_n = c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$ । अंक $n$ केवल $r_{n-1}$ पर निर्भर करता है — अर्थात् भाग I का लंबा-भाग चक्र, अब प्रमाणित।

16. $q + 1$ शेषफल $r_0, \dots, r_q$ $q$ -अवयवी समुच्चय $\intint{0}{q-1}$ में मान लेते हैं: अतः कबूतरखाना सिद्धांत (उपप्रमेय 2.3) से दो संपाती हो जाते हैं, मान लीजिए $0 \leq N < N + T \leq q$ के साथ $r_N = r_{N+T}$ । चूँकि $r_n$ $r_{n+1}$ को निर्धारित करता है (प्रश्न 14), आगमन से सभी $n \geq N$ के लिए $r_{n+T} = r_n$ ; और चूँकि $r_{n-1}$ $d_n$ को निर्धारित करता है (प्रश्न 15), सभी $n \geq N + 1$ के लिए $d_{n+T} = d_n$ । अतः प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार अंततः आवर्ती है, जिसका पूर्वावर्त $\leq q$ और आवर्त $\leq q$ है।

17. $b^T y$ के भिन्नात्मक भाग के अंक $(d_{n+T}) = (d_n)$ हैं (विस्थापन प्रमेयिका, फिर शुद्ध आवर्तिता): अर्थात् वही उचित माला जो $y$ की है। प्रश्न 10 से मान बराबर हैं: $b^T y - \lfloor b^T y \rfloor = y$ , अतः $(b^T - 1)\,y = \lfloor b^T y \rfloor = A_T \in \N$ और

y = \frac{A_T}{b^T - 1} ,

जो परिमेय है और जिसका हर $b^T - 1$ को विभाजित करता है; अंश $A_T$ वह पूर्णांक है जिसके आधार- $b$ अंक $d_1 \dots d_T$ हैं। जाँच: $0.(142857) = \frac{142857}{999999}$ , और $142857 \times 7 = 999999$ , अतः यह $\frac 17$ है।

18. यदि $n > N$ के लिए $d_{n+T} = d_n$ , तो $b^N x$ के भिन्नात्मक भाग $z$ के अंक $(d_{N+n})_{n\geq1}$ हैं (विस्थापन प्रमेयिका), जो शुद्ध रूप से आवर्ती हैं; प्रश्न 17 से $z \in \Q$ । तब $b^N x = A_N + z$ $x = (A_N + z)/b^N \in \Q$ देता है। प्रश्न 16 के साथ: $x$ परिमेय है $\iff$ प्रसार अंततः आवर्ती है। दायाँ पक्ष आधार का उल्लेख करता है, बायाँ नहीं: अतः किसी एक आधार में आवर्तिता परिमेयता के तुल्य है, और इसलिए हर आधार में आवर्तिता के भी।

19. $x = \frac 1q$ के लिए $r_n = b^n \bmod q$ । यदि $\gcd(b, q) = 1$ , तो $r_T = r_0 = 1$ यदि और केवल यदि $b^T \equiv 1 \pmod q$ ; ऐसा $T$ विद्यमान है (कबूतरखाना $b^i \equiv b^j$ , $i < j$ देता है, और $b$ $q$ के सापेक्ष व्युत्क्रमणीय है, अतः $b^{j-i} \equiv 1$ ), और उनमें लघुतम — अर्थात् गुणात्मक कोटि — शेषफलों को, और इसलिए अंकों को, आवर्त $T$ के साथ शुद्ध रूप से आवर्ती बना देती है। इससे छोटा कोई आवर्त संभव नहीं: आवर्त $T'$ $(b^{T'} - 1)\frac1q \in \N$ देता (प्रश्न 17), अर्थात् $q \mid b^{T'} - 1$ । $q = 7$ के लिए $b = 10$ : $10 \equiv 3$ , $10^2 \equiv 2$ , $10^3 \equiv 6$ , $10^4 \equiv 4$ , $10^5 \equiv 5$ , $10^6 \equiv 1 \pmod 7$ : कोटि $6$ , और सचमुच $\frac 17$ का आवर्त छह है।

20. माला में अनंत $0$ हैं ( $x^*$ के अंक अधिकतर शून्य हैं), अतः वह उचित है, और $x^*$ सुपरिभाषित है (प्रश्न 9)। मान लीजिए अंक $N$ के आगे आवर्त $T$ के साथ अंततः आवर्ती हैं। अनंत अंक $1$ के बराबर हैं (प्रत्येक त्रिभुजीय संख्या पर एक), अतः कोई $1$ किसी स्थान $j > N$ पर बैठता है; तब आवर्तिता प्रत्येक स्थान $j + kT$ पर $1$ रख देती है: अर्थात् $j$ से आगे क्रमागत $1$ के बीच के अंतराल अधिक से अधिक $T$ हैं। पर $1$ ठीक त्रिभुजीय संख्याओं पर बैठते हैं, जिनके क्रमागत अंतराल $\frac{(j+1)(j+2)}{2} - \frac{j(j+1)}{2} = j + 1$ अंततः $T$ को पार कर जाते हैं: विरोधाभास। अतः वह अंततः आवर्ती नहीं है, और प्रश्न 18 से $x^* \notin \Q$ — अर्थात् अपरिमेयता केवल अंकों की लय से पढ़ ली गई।

21. $x < y$ दिया हो, तो प्रश्न 7 ऐसा $n$ देता है कि $b^{-n} < y - x$ ; $m = \lfloor b^n x \rfloor + 1$ रखिए। तब $b^n x < m \leq b^n x + 1 < b^n y$ , अतः $x < \frac{m}{b^n} < y$ : अर्थात् सघनता, और वह भी एक साथ हर आधार के लिए ( $b = 2$ अभ्यास 10.8 लौटा देता है)। आधार $b = q$ में $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ के लिए: पहला अंक $\lfloor q \cdot \frac pq \rfloor = p$ है और $q \cdot \frac pq = p$ का भिन्नात्मक भाग $0$ है: आगे के सभी अंक लुप्त हो जाते हैं, अर्थात् समाप्त होने वाला प्रसार $\frac pq = (0.p)_q$ । समाप्त होना आधार पर निर्भर करता है; आवर्तिता — अर्थात् परिमेयता — नहीं (प्रश्न 18)।

22. प्रत्येक $e_k \in \{1, 2\}$ आधार $10$ का अंक है, और माला कभी सर्व- $9$ पर समाप्त नहीं होती: अतः उचित। उसका मान $y$ $\intco{0}{1}$ में है और उसके अंक ठीक $(e_k)$ हैं (प्रश्न 9)। $k$ नियत कीजिए: $y$ का $k$ -वाँ अंक $e_k$ है, जो $x_k$ के $k$ -वें अंक से $\neq$ चुना गया है, अतः $y$ और $x_k$ की उचित मालाएँ भिन्न हैं, इसलिए $y \neq x_k$ (प्रश्न 10: कूटन एकैकी है)। अतः $y$ किसी भी सूची में नहीं है: कोई भी प्रतिचित्रण $\N^* \to \intco{0}{1}$ आच्छादक नहीं है। परिमेय संख्याओं के विपरीत वास्तविक संख्याओं की गणना नहीं की जा सकती — यही अगणनीयता है, जिसका सिद्धांत अध्याय 12 विकसित करता है।

23. यदि प्रसार $n$ तक मेल खाते हैं, तो $x$ और $y$ की कटाई एक ही $s_n$ है, और प्रश्न 6 दोनों को $\intco{s_n}{s_n + b^{-n}}$ में रख देता है, जो लंबाई $b^{-n}$ का अंतराल है: $\abs{x - y} < b^{-n}$ । विलोम: $x = 0.1$ और $y = 0.0999$ (जो समाप्त होने वाला, अतः उचित है) $\abs{x - y} = 10^{-4} < 10^{-3}$ संतुष्ट करते हैं, फिर भी उनके प्रसार पहले ही अंक पर भिन्न हैं। दोषी प्रश्न 11 की $b$ -आदिक भिन्नें हैं: उनके पास ज़रा-सी हलचल हर दिखाई देने वाला अंक पलट देती है ( $0.0999 \to 0.1000$ ), क्योंकि ठीक वहीं अनुचित जुड़वाँ घात लगाए बैठा है।

24. $p = 1$ , $q = 10$ , $b = 2$ , $r_0 = 1$ : $2 = 10 \cdot 0 + 2$ , $4 = 10 \cdot 0 + 4$ , $8 = 10 \cdot 0 + 8$ , $16 = 10 \cdot 1 + 6$ , $12 = 10 \cdot 1 + 2$ — और $r_5 = 2 = r_1$ : शेषफल सूचकांक $1$ से $(2, 4, 8, 6)$ में चक्कर लगाते हैं। अंक: $d_1 = 0$ , फिर दोहराता खंड $d_2 d_3 d_4 d_5 = 0, 0, 1, 1$ :

\tfrac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2 ,

पूर्वावर्त $1$ , आवर्त $4$ । प्रश्न 3 से, समाप्त होने वाले आधार- $2$ प्रसार के लिए $10$ के प्रत्येक अभाज्य को $2$ विभाजित करना पड़ता; अभाज्य $5$ यह नहीं करता। अतः $0.1$ किसी भी परिमित द्विआधारी माला से निरूपित नहीं हो सकता — परिमित बिट रखने वाला संगणक केवल एक कटाई रखता है, और संचित कटाई-त्रुटियाँ ही वह कारण हैं जिससे प्लवन-बिंदु $0.1 + 0.2$ अंतिम बिटों में $0.3$ से भिन्न होता है।

25. (क) पूर्णता ने मान उत्पन्न किए: $x = \sup s_n$ और $y = \sup t_n$ (प्रश्न 7 और 9) — अकेले $\Q$ पर $\sqrt 2$ की उचित माला किसी का नाम न लेती। (ख) आर्किमिडीज़ गुणधर्म ने $b^{-n}$ को अंततः किसी भी $\varepsilon$ से छोटा बना दिया, जिससे कटाइयाँ अपने उच्चतम के पास सिमटने को बाध्य हुईं (प्रश्न 7, 21)। (ग) फ़र्श के अद्वितीयता वाले उपवाक्य ने प्रश्न 14 में $Q_n = A_n$ की पहचान की और हर अंक-निष्कर्षण $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ को वैध ठहराया (प्रश्न 13)। (घ) परिमित कितने शेषफलों पर लगाया गया कबूतरखाना सिद्धांत आवर्तिता का एकमात्र इंजन है (प्रश्न 16)। उपदेश: उचित मालाएँ $\intco{0}{1}$ को पूरी निष्ठा से कूटित करती हैं और परिमेयता को दृश्य लय में बदल देती हैं; पर अंक-मालाओं के योग के लिए अनंत दूर दाईं ओर से हासिल आगे बढ़ते हैं, अतः कोई परिमित-चरण नियम योग का पहला अंक भी नहीं निकाल सकता — जबकि प्रमेय 10.2 का उच्चतम वाला इंटरफ़ेस एक ही अभिगृहीत से पूरे विश्लेषण को सँभाल लेता है। अंक $\R$ का एक भव्य चित्र हैं; उच्चतम उसका इंजन है।