Apa itu cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡? — Matematika

Definisi 4.17 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 4 — Fungsi Baku

Untuk $x \in \R$ :

\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

(kosinus, sinus, tangen hiperbolik). Di sini $\cosh$ genap, sedangkan $\sinh$ dan $\tanh$ ganjil.

Kiri: dan , yang secara asimtotik merekat pada x/2 (garis putus-putus). Kanan: , yang naik dari -1 ke 1. — Kiri: $\cosh$ dan $\sinh$ , yang secara asimtotik merekat pada $\frac{\eu^x}{2}$ (garis putus-putus). Kanan: $\tanh$ , yang naik dari $-1$ ke $1$ .

Contoh

Contoh 4.20 (Rumus penjumlahan untuk $\tanh$ )

Dengan membagi kedua rumus penjumlahan pada Proposisi 4.18 (3) dengan $\cosh x\cosh y$ :

\tanh(x + y) = \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y} {\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,

yakni saudara hiperbolik dari rumus penjumlahan tangen — dengan $+$ yang di trigonometri berupa $-$ . Sebuah dividen: karena $\abs{\tanh} < 1$ , ruas kanannya adalah kaidah “penjumlahan kecepatan” yang tak pernah keluar dari $\intoo{-1}1$ : jika $u, v \in \intoo{-1}1$ maka $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ juga (tulis $u = \tanh a$ , $v = \tanh b$ , yang mungkin karena kebijektifannya, lalu baca rumusnya terbalik). Memeriksa hal itu secara aljabar, tanpa fungsi hiperbolik, adalah latihan yang agak menyakitkan; memparameterkannya dengan $\tanh$ membuatnya satu baris — strategi yang sama seperti yang diberikan fungsi lingkaran bagi lingkaran satuan.

Contoh 4.22 (Bentuk tertutup dalam praktik)

Penyelesaian $\cosh t = 2$ dengan $t \geq 0$ adalah, menurut bentuk tertutupnya, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ ; penyelesaian yang lain adalah $-t$ , karena kegenapannya — dan memang $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : kedua akar $u = \eu^t$ persamaan kuadrat $u^2 - 4u + 1 = 0$ saling berkebalikan, sebagaimana dituntut hasil kalinya $1$ (menurut Vieta). Perhitungan kecil ini memperlihatkan pola umumnya: persamaan hiperbolik berubah menjadi persamaan kuadrat dalam $\eu^t$ , dan simetri $t \mapsto -t$ muncul sebagai simetri $u \mapsto 1/u$ persamaan kuadrat itu — layak diingat ketika menyelesaikan Latihan 4.7.

Baca dalam konteks →