¿Qué es cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡?

Ejemplo 4.20 (La fórmula de adición de $\tanh$)

Dividiendo por $\cosh x\cosh y$ las dos fórmulas de adición de la Proposición 4.18 (3):

la hermana hiperbólica de la fórmula de adición de la tangente — con un $+$ donde la trigonometría tiene un $-$. Un dividendo: como $\abs{\tanh} < 1$, el miembro derecho es una regla de «suma de velocidades» que nunca sale de $\intoo{-1}1$: si $u, v \in \intoo{-1}1$, entonces $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ también (escríbanse $u = \tanh a$, $v = \tanh b$, posible por biyectividad, y léase la fórmula al revés). Comprobarlo por álgebra, sin funciones hiperbólicas, es un ejercicio algo penoso; parametrizar con $\tanh$ lo convierte en una línea — la misma estrategia que las funciones circulares brindan para la circunferencia unidad.

Ejemplo 4.22 (Las formas cerradas en acción)

La solución de $\cosh t = 2$ con $t \geq 0$ es, por la forma cerrada, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$; la otra solución es $-t$, por paridad — y, en efecto, $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: las dos raíces $u = \eu^t$ de la cuadrática $u^2 - 4u + 1 = 0$ son inversas la una de la otra, como exige su producto $1$ (Vieta). Este cálculo mínimo muestra el patrón general: las ecuaciones hiperbólicas se convierten en cuadráticas en $\eu^t$, y la simetría $t \mapsto -t$ aparece como la simetría $u \mapsto 1/u$ de la cuadrática — conviene recordarlo al resolver el Ejercicio 4.7.