Qu'est-ce que « cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡ » ?

Exemple 4.20 (La formule d’addition pour $\tanh$)

En divisant les deux formules d’addition de la Proposition 4.18 (3) par $\cosh x\cosh y$ :

sœur hyperbolique de la formule d’addition de la tangente — avec un $+$ là où la trigonométrie a un $-$. Un dividende : comme $\abs{\tanh} < 1$, le membre de droite est une règle d’« addition des vitesses » qui ne quitte jamais $\intoo{-1}1$ : si $u, v \in \intoo{-1}1$, alors $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ également (écrire $u = \tanh a$, $v = \tanh b$, ce qui est possible par bijectivité, et lire la formule à l’envers). Le vérifier algébriquement, sans les fonctions hyperboliques, est un exercice un peu pénible ; le paramétrage par $\tanh$ le réduit à une ligne — la stratégie même que les fonctions circulaires offrent pour le cercle unité.

Exemple 4.22 (Les expressions explicites à l’œuvre)

La solution de $\cosh t = 2$ avec $t \geq 0$ est, d’après l’expression explicite, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ ; l’autre solution est $-t$, par parité — et en effet $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : les deux racines $u = \eu^t$ du trinôme $u^2 - 4u + 1 = 0$ sont inverses l’une de l’autre, comme l’exige leur produit égal à $1$ (relations de Viète). Ce minuscule calcul exhibe le schéma général : les équations hyperboliques se ramènent à des équations du second degré en $\eu^t$, et la symétrie $t \mapsto -t$ apparaît comme la symétrie $u \mapsto 1/u$ du trinôme — à retenir pour résoudre l’Exercice 4.7.