ما معنى cosh⁡ و sinh⁡ و tanh⁡؟

مثال 4.20 (صيغة الجمع للدالة $\tanh$)

بقسمة صيغتَي الجمع في القضية 4.18 (3) على $\cosh x\cosh y$:

وهي شقيقة صيغة جمع الظل الزائدية — مع إشارة $+$ حيث تضع المثلثات إشارة $-$. ومن فوائدها: بما أن $\abs{\tanh} < 1$، يكون الطرف الأيمن قاعدةَ «جمع سرعات» لا تغادر $\intoo{-1}1$ أبدًا: فإذا كان $u, v \in \intoo{-1}1$ فإن $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ كذلك (اكتب $u = \tanh a$ و $v = \tanh b$، وهذا ممكن بالتقابلية، واقرأ الصيغة بالمقلوب). والتحقق من ذلك جبريًا، دون دوال زائدية، تمرين مؤلم بعض الشيء؛ أمّا الوسْط بالدالة $\tanh$ فيجعله سطرًا واحدًا — وهي الاستراتيجية نفسها التي توفّرها الدوال الدائرية لدائرة الوحدة.

مثال 4.22 (الصيغ المغلقة في العمل)

حلّ المعادلة $\cosh t = 2$ حيث $t \geq 0$ هو، بالصيغة المغلقة، $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$؛ والحل الآخر هو $-t$ بالزوجية — وبالفعل $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: أي أن جذرَي المعادلة من الدرجة الثانية $u^2 - 4u + 1 = 0$، وهما $u = \eu^t$، مقلوبان أحدهما للآخر، كما يقتضيه جداؤهما $1$ (فييت). ويُظهر هذا الحساب الصغير النمط العام: فالمعادلات الزائدية تتحول إلى معادلات من الدرجة الثانية في $\eu^t$، ويظهر التناظر $t \mapsto -t$ في صورة التناظر $u \mapsto 1/u$ للمعادلة من الدرجة الثانية — ويجدر تذكّر ذلك عند حلّ التمرين 4.7.