ما معنى cosh⁡ و sinh⁡ و tanh⁡؟ — الرياضيات

تعريف 4.17 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 4 — الدوال المعيارية

من أجل $x \in \R$ :

\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

(جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي والظل الزائدي). والدالة $\cosh$ زوجية، والدالتان $\sinh$ و $\tanh$ فرديتان.

إلى اليسار: و ، ملتصقتان مقاربيًا بالمنحني x/2 (المتقطع). وإلى اليمين: ، متزايدةً من -1 إلى 1. — إلى اليسار: $\cosh$ و $\sinh$ ، ملتصقتان مقاربيًا بالمنحني $\frac{\eu^x}{2}$ (المتقطع). وإلى اليمين: $\tanh$ ، متزايدةً من $-1$ إلى $1$ .

أمثلة

مثال 4.20 (صيغة الجمع للدالة $\tanh$ )

بقسمة صيغتَي الجمع في القضية 4.18 (3) على $\cosh x\cosh y$ :

\tanh(x + y) = \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y} {\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,

وهي شقيقة صيغة جمع الظل الزائدية — مع إشارة $+$ حيث تضع المثلثات إشارة $-$ . ومن فوائدها: بما أن $\abs{\tanh} < 1$ ، يكون الطرف الأيمن قاعدةَ «جمع سرعات» لا تغادر $\intoo{-1}1$ أبدًا: فإذا كان $u, v \in \intoo{-1}1$ فإن $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ كذلك (اكتب $u = \tanh a$ و $v = \tanh b$ ، وهذا ممكن بالتقابلية، واقرأ الصيغة بالمقلوب). والتحقق من ذلك جبريًا، دون دوال زائدية، تمرين مؤلم بعض الشيء؛ أمّا الوسْط بالدالة $\tanh$ فيجعله سطرًا واحدًا — وهي الاستراتيجية نفسها التي توفّرها الدوال الدائرية لدائرة الوحدة.

مثال 4.22 (الصيغ المغلقة في العمل)

حلّ المعادلة $\cosh t = 2$ حيث $t \geq 0$ هو، بالصيغة المغلقة، $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ ؛ والحل الآخر هو $-t$ بالزوجية — وبالفعل $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : أي أن جذرَي المعادلة من الدرجة الثانية $u^2 - 4u + 1 = 0$ ، وهما $u = \eu^t$ ، مقلوبان أحدهما للآخر، كما يقتضيه جداؤهما $1$ (فييت). ويُظهر هذا الحساب الصغير النمط العام: فالمعادلات الزائدية تتحول إلى معادلات من الدرجة الثانية في $\eu^t$ ، ويظهر التناظر $t \mapsto -t$ في صورة التناظر $u \mapsto 1/u$ للمعادلة من الدرجة الثانية — ويجدر تذكّر ذلك عند حلّ التمرين 4.7.

اقرأ في الفصل ←