Wat is cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡?

Voorbeeld 4.20 (De somformule voor $\tanh$)

Delen we de twee somformules van Propositie 4.18 (3) door $\cosh x\cosh y$, dan volgt

de hyperbolische tegenhanger van de somformule voor de tangens — met een $+$ waar de goniometrie een $-$ heeft. Een dividend: omdat $\abs{\tanh} < 1$, is het rechterlid een “optelregel voor snelheden” die $\intoo{-1}1$ nooit verlaat: liggen $u, v$ in $\intoo{-1}1$, dan ligt ook $\frac{u + v}{1 + uv}$ in $\intoo{-1}1$ (schrijf $u = \tanh a$ en $v = \tanh b$, wat kan wegens de bijectiviteit, en lees de formule achterstevoren). Dat algebraïsch nagaan, zonder hyperbolische functies, is een licht pijnlijke oefening; parametriseren met $\tanh$ maakt er één regel van — dezelfde strategie die de goniometrische functies voor de eenheidscirkel bieden.

Voorbeeld 4.22 (Gesloten vormen aan het werk)

De oplossing van $\cosh t = 2$ met $t \geq 0$ is volgens de gesloten vorm $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$; de andere oplossing is $-t$, wegens de even pariteit — en inderdaad is $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: de twee wortels $u = \eu^t$ van de vierkantsvergelijking $u^2 - 4u + 1 = 0$ zijn elkaars omgekeerde, zoals hun product $1$ (Vieta) eist. Dit kleine rekenwerk toont het algemene patroon: hyperbolische vergelijkingen gaan over in vierkantsvergelijkingen in $\eu^t$, en de symmetrie $t \mapsto -t$ verschijnt als de symmetrie $u \mapsto 1/u$ van die vergelijking — het onthouden waard bij het oplossen van Oefening 4.7.