Apa itu Fungsi analitik? — Matematika

Definisi 11.13 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 11 — Deret Pangkat

Fungsi $f$ disebut analitik di $x_0$ apabila ia jumlah sebuah deret pangkat dalam $(x - x_0)$ pada sebuah persekitaran; dan analitik pada sebuah interval apabila demikian di setiap titiknya. Jumlah deret pangkat bersifat analitik di dalam cakramnya (lewat penataan ulang uraiannya — yang diterima tanpa bukti pada tingkat ini untuk pemusatan ulang, sebab kasus $x_0 = 0$ tak lain Teorema 11.7). Analitik mengakibatkan $C^\infty$ ; sedangkan konversnya gagal: lihat fungsi datar $\eu^{-1/x^2}$ (Latihan 11.7).

Contoh

Contoh 11.14 (Pemusatan ulang, dan jari-jari sebagai jarak)

Uraikan $f(x) = \frac{1}{1-x}$ di sekitar $x_0 = \frac12$ : dengan menulis $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

yang sahih untuk $\abs{2h} < 1$ , yakni $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . Jari-jari barunya persis sama dengan jarak dari pusat barunya ke kesingularan $x = 1$ : jadi pemusatan ulang menciutkan (atau membesarkan) cakramnya agar pas dengan halangan terdekatnya. Pelajaran penutupnya: inilah gambaran di balik definisi keanalitikan — satu fungsi, banyak deret pangkat lokal, yang masing-masing hidup pada cakram terbesar yang menghindari masalahnya; dan jilid Tahun ke-3 mengubah heuristik “jari-jari $=$ jarak ke kesingularan kompleks terdekat” menjadi sebuah teorema.

Baca dalam konteks →