Qu'est-ce que « Fonctions analytiques » ? — Mathématiques

Définition 11.13 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 11 — Séries entières

$f$ est analytique en $x_0$ quand elle est la somme d’une série entière en $(x - x_0)$ sur un voisinage ; sur un intervalle, quand elle l’est en tout point. Les sommes de séries entières sont analytiques à l’intérieur de leur disque (réarrangement du développement — admis à ce niveau pour le recentrage, le cas $x_0 = 0$ étant le Théorème 11.7). Analytique implique $C^\infty$ ; la réciproque est fausse : la fonction plate $\eu^{-1/x^2}$ (Exercice 11.7).

Exemples

Exemple 11.14 (Recentrer, et le rayon comme distance)

Développons $f(x) = \frac{1}{1-x}$ autour de $x_0 = \frac12$ : en posant $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

valable pour $\abs{2h} < 1$ , c’est-à-dire $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . Le nouveau rayon est exactement la distance du nouveau centre à la singularité $x = 1$ : recentrer rétrécit (ou agrandit) le disque pour l’ajuster à l’obstruction la plus proche. Idée à retenir : voilà l’image derrière la définition de l’analyticité — une seule fonction, plusieurs séries entières locales, chacune vivant sur le plus grand disque évitant l’ennui ; le volume de troisième année transforme l’heuristique « rayon $=$ distance à la singularité complexe la plus proche » en théorème.

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