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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Fonctions analytiques » ?

Aussi appelé : fonction analytique

Définition 11.13 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 11 — Séries entières

ff est analytique en x0x_0 quand elle est la somme d’une série entière en (x−x0)(x - x_0) sur un voisinage ; sur un intervalle, quand elle l’est en tout point. Les sommes de séries entières sont analytiques à l’intérieur de leur disque (réarrangement du développement — admis à ce niveau pour le recentrage, le cas x0=0x_0 = 0 étant le Théorème 11.7). Analytique implique C∞C^\infty ; la réciproque est fausse : la fonction plate e−1/x2\eu^{-1/x^2} (Exercice 11.7).

Exemples

Exemple 11.14 (Recentrer, et le rayon comme distance)

Développons f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x} autour de x0=12x_0 = \frac12 : en posant x=12+hx = \frac12 + h,

11−x=112−h=21−2h=∑n≥02n+1 hn=∑n≥02n+1(x−12) ⁣n,\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

valable pour ∣2h∣<1\abs{2h} < 1, c’est-à-dire ∣x−12∣<12\abs{x - \frac12} < \frac12. Le nouveau rayon est exactement la distance du nouveau centre à la singularité x=1x = 1 : recentrer rétrécit (ou agrandit) le disque pour l’ajuster à l’obstruction la plus proche. Idée à retenir : voilà l’image derrière la définition de l’analyticité — une seule fonction, plusieurs séries entières locales, chacune vivant sur le plus grand disque évitant l’ennui ; le volume de troisième année transforme l’heuristique « rayon == distance à la singularité complexe la plus proche » en théorème.

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