वैश्लेषिक फलन क्या है? — गणित

परिभाषा 11.13 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 11 — घात श्रेणियाँ

$f$ $x_0$ पर वैश्लेषिक कहलाता है जब वह किसी प्रतिवेश पर $(x - x_0)$ की किसी घात श्रेणी का योग हो; और किसी अंतराल पर तब जब वह हर बिंदु पर ऐसा हो। घात श्रेणियों के योग अपनी चक्रिका के भीतर वैश्लेषिक होते हैं (प्रसार का पुनर्विन्यास — पुनःकेंद्रण के लिए इस स्तर पर स्वीकृत, और $x_0 = 0$ वाली स्थिति प्रमेय 11.7 है)। वैश्लेषिक से $C^\infty$ निकलता है; पर विलोम विफल है: चपटा फलन $\eu^{-1/x^2}$ (अभ्यास 11.7)।

उदाहरण

उदाहरण 11.14 (पुनःकेंद्रण, और दूरी के रूप में त्रिज्या)

$f(x) = \frac{1}{1-x}$ का $x_0 = \frac12$ के परितः प्रसार कीजिए: $x = \frac12 + h$ लिखने पर,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

जो $\abs{2h} < 1$ के लिए मान्य है, अर्थात् $\abs{x - \frac12} < \frac12$ के लिए। नई त्रिज्या ठीक नए केंद्र से विचित्रता $x = 1$ तक की दूरी है: अर्थात् पुनःकेंद्रण चक्रिका को निकटतम बाधा के अनुसार सिकोड़ (या बढ़ा) देता है। समापन दृष्टि: वैश्लेषिकता की परिभाषा के पीछे यही चित्र है — एक ही फलन, अनेक स्थानीय घात श्रेणियाँ, और हर एक उस सबसे बड़ी चक्रिका पर बसती है जो परेशानी से बच निकलती है; और तृतीय वर्ष का खंड “त्रिज्या $=$ निकटतम सम्मिश्र विचित्रता तक की दूरी” वाले अनुमान को प्रमेय बना देता है।

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