Wat is Analytische functies? — Wiskunde

Definitie 11.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 11 — Machtreeksen

$f$ heet analytisch in $x_0$ wanneer zij op een omgeving de som is van een machtreeks in $(x - x_0)$ ; op een interval, wanneer zij dat in elk punt is. Sommen van machtreeksen zijn analytisch binnen hun schijf (herschikking van de ontwikkeling — op dit niveau zonder bewijs aangenomen voor het verleggen van het middelpunt; het geval $x_0 = 0$ is Stelling 11.7). Analytisch impliceert $C^\infty$ ; het omgekeerde faalt: de vlakke functie $\eu^{-1/x^2}$ (Oefening 11.7).

Voorbeelden

Voorbeeld 11.14 (Het middelpunt verleggen, en de straal als afstand)

Ontwikkel $f(x) = \frac{1}{1-x}$ rond $x_0 = \frac12$ : met $x = \frac12 + h$ is

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

geldig voor $\abs{2h} < 1$ , dat wil zeggen $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . De nieuwe straal is precies de afstand van het nieuwe middelpunt tot de singulariteit $x = 1$ : het middelpunt verleggen krimpt (of vergroot) de schijf tot zij op de dichtstbijzijnde hindernis past. Het inzicht om te onthouden: dit is het beeld achter de definitie van analyticiteit — één functie, vele lokale machtreeksen, elk levend op de grootste schijf die de moeilijkheden vermijdt; het volume van bachelorjaar 3 maakt van de heuristiek “straal $=$ afstand tot de dichtstbijzijnde complexe singulariteit” een stelling.

Lees in het hoofdstuk →