ما معنى الدوال التحليلية؟ — الرياضيات

تعريف 11.13 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 11 — متسلسلات القوى

تكون $f$ تحليلية عند $x_0$ إذا كانت مجموع متسلسلة قوى في $(x - x_0)$ على جوار؛ وعلى فترة، إذا كانت كذلك عند كل نقطة. ومجاميع متسلسلات القوى تحليلية داخل قرصها (بإعادة ترتيب النشر — ونقبل ذلك دون برهان في هذا المستوى من أجل إعادة التمركز، والحالة $x_0 = 0$ هي المبرهنة 11.7). والتحليلية تستلزم الصنف $C^\infty$ ؛ والعكس يفشل: كالدالة المسطحة $\eu^{-1/x^2}$ (التمرين 11.7).

أمثلة

مثال 11.14 (إعادة التمركز، ونصف القطر بوصفه مسافة)

لننشر $f(x) = \frac{1}{1-x}$ حول $x_0 = \frac12$ : فبكتابة $x = \frac12 + h$ ،

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

وهو صالح من أجل $\abs{2h} < 1$ ، أي $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . ونصف القطر الجديد هو بالضبط المسافة من المركز الجديد إلى الشذوذ $x = 1$ : فإعادة التمركز تقلّص (أو توسّع) القرص ليلائم أقرب عائق. والفكرة الختامية: هذه هي الصورة وراء تعريف التحليلية — دالة واحدة، ومتسلسلات قوى محلية كثيرة، تعيش كلٌّ منها على أكبر قرص يتجنب المشكلة؛ ويحوّل مجلد السنة الثالثة الحدسَ “نصف القطر $=$ المسافة إلى أقرب شذوذ عقدي” إلى مبرهنة.

اقرأ في الفصل ←