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Matemática · Glossário

O que é Funções analíticas?

Também chamado de: função analítica

Definição 11.13 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 11 — Séries de potências

ff é analítica em x0x_0 quando é a soma de uma série de potências em (x−x0)(x - x_0) numa vizinhança; num intervalo, quando o é em todo ponto. As somas de séries de potências são analíticas dentro de seu disco (reordenação do desenvolvimento — admitida neste nível para o recentramento, sendo o caso x0=0x_0 = 0 o Teorema 11.7). Analítica implica C∞C^\infty; a recíproca falha: a função achatada e−1/x2\eu^{-1/x^2} (Exercício 11.7).

Exemplos

Exemplo 11.14 (Recentrar, e o raio como distância)

Desenvolva f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x} em torno de x0=12x_0 = \frac12: escrevendo x=12+hx = \frac12 + h,

11−x=112−h=21−2h=∑n≥02n+1 hn=∑n≥02n+1(x−12) ⁣n,\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

válido para ∣2h∣<1\abs{2h} < 1, isto é, ∣x−12∣<12\abs{x - \frac12} < \frac12. O novo raio é exatamente a distância do novo centro à singularidade x=1x = 1: recentrar encolhe (ou aumenta) o disco para que ele caiba até o obstáculo mais próximo. Lição final: essa é a figura por trás da definição de analiticidade — uma função, muitas séries de potências locais, cada uma vivendo no maior disco que evita o problema; o volume do terceiro ano de graduação transforma a heurística “raio == distância à singularidade complexa mais próxima” num teorema.

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