O que é Funções analíticas? — Matemática

Definição 11.13 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 11 — Séries de potências

$f$ é analítica em $x_0$ quando é a soma de uma série de potências em $(x - x_0)$ numa vizinhança; num intervalo, quando o é em todo ponto. As somas de séries de potências são analíticas dentro de seu disco (reordenação do desenvolvimento — admitida neste nível para o recentramento, sendo o caso $x_0 = 0$ o Teorema 11.7). Analítica implica $C^\infty$ ; a recíproca falha: a função achatada $\eu^{-1/x^2}$ (Exercício 11.7).

Exemplos

Exemplo 11.14 (Recentrar, e o raio como distância)

Desenvolva $f(x) = \frac{1}{1-x}$ em torno de $x_0 = \frac12$ : escrevendo $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

válido para $\abs{2h} < 1$ , isto é, $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . O novo raio é exatamente a distância do novo centro à singularidade $x = 1$ : recentrar encolhe (ou aumenta) o disco para que ele caiba até o obstáculo mais próximo. Lição final: essa é a figura por trás da definição de analiticidade — uma função, muitas séries de potências locais, cada uma vivendo no maior disco que evita o problema; o volume do terceiro ano de graduação transforma a heurística “raio $=$ distância à singularidade complexa mais próxima” num teorema.

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