¿Qué es Funciones analíticas? — Matemáticas

Definición 11.13 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 11 — Series de potencias

$f$ es analítica en $x_0$ cuando es la suma de una serie de potencias en $(x - x_0)$ sobre un entorno; y sobre un intervalo, cuando lo es en todo punto. Las sumas de series de potencias son analíticas dentro de su disco (por reordenación del desarrollo, admitida a este nivel para el recentrado; el caso $x_0 = 0$ es el Teorema 11.7). Analítica implica $C^\infty$ ; el recíproco falla: la función plana $\eu^{-1/x^2}$ (Ejercicio 11.7).

Ejemplos

Ejemplo 11.14 (Recentrar, y el radio como distancia)

Desarrollemos $f(x) = \frac{1}{1-x}$ alrededor de $x_0 = \frac12$ : escribiendo $x = \frac12 + h$ ,

\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

válido para $\abs{2h} < 1$ , es decir, $\abs{x - \frac12} < \frac12$ . El nuevo radio es exactamente la distancia del nuevo centro a la singularidad $x = 1$ : recentrar encoge (o agranda) el disco hasta ajustarlo a la obstrucción más próxima. Moraleja: esta es la imagen que hay tras la definición de analiticidad —una función, muchas series de potencias locales, cada una viviendo en el mayor disco que evita el problema—; el volumen del tercer año convierte la heurística “radio $=$ distancia a la singularidad compleja más próxima” en un teorema.

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