Apa itu fungsi terukur?

Misalkan $(X, \mathcal A)$ dan $(Y, \mathcal B)$ ruang terukur. Pemetaan $f \colon X \to Y$ disebut terukur jika $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ untuk setiap $B \in \mathcal B$. Untuk fungsi real (atau yang bernilai di $[-\infty,+\infty]$), $Y = \R$ membawa aljabar-$\sigma$ Borelnya, dan cukup diperiksa $f^{-1}(\intoo t{+\infty}) = \{f > t\} \in \mathcal A$ untuk setiap $t \in \R$: sebab himpunan baiknya $\{B : f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ membentuk aljabar-$\sigma$ (karena prapeta komutatif dengan operasi himpunan) yang memuat sinar pembangkitnya (Definisi 9.2, Metode 9.17).