Qu'est-ce que « fonction mesurable » ?

Soient $(X, \mathcal A)$, $(Y, \mathcal B)$ des espaces mesurables. $f \colon X \to Y$ est mesurable si $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ pour tout $B \in \mathcal B$. Pour les fonctions réelles (ou à valeurs dans $[-\infty,+\infty]$), $Y = \R$ porte sa $\sigma$-algèbre de Borel, et il suffit de vérifier $f^{-1}(\intoo t{+\infty}) = \{f > t\} \in \mathcal A$ pour tout $t \in \R$ : les bons ensembles $\{B : f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ forment une $\sigma$-algèbre (les images réciproques commutent avec les opérations ensemblistes) contenant les demi-droites engendrant (Définition 9.2, Méthode 9.17).