O que é função mensurável?

Sejam $(X, \mathcal A)$ e $(Y, \mathcal B)$ espaços mensuráveis. $f \colon X \to Y$ é mensurável se $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ para todo $B \in \mathcal B$. Para funções reais (ou a valores em $[-\infty,+\infty]$), $Y = \R$ carrega sua $\sigma$-álgebra de Borel, e basta verificar $f^{-1}(\intoo t{+\infty}) = \{f > t\} \in \mathcal A$ para todo $t \in \R$: os bons conjuntos $\{B : f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ formam uma $\sigma$-álgebra (as pré-imagens comutam com as operações de conjuntos) que contém as semirretas geradoras (Definição 9.2, Método 9.17).