Injektif, surjektif, bijektif কী?

Contoh 1.25 (Menghitung invers dalam praktik)

Misalkan $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$, $f(x) = \eu^{2x+1}$. Untuk membalikkannya, selesaikan $y = f(x)$ bagi $y > 0$ yang diberikan:

setiap langkahnya dapat dibalik pada daerah yang telah diumumkan. Perhitungan itu sekaligus menyerahkan segalanya: untuk setiap $y$ pada daerah kawan ada tepat satu penyelesaian $x$, sehingga $f$ bijektif, dan

Pemeriksaan cepat atas kedua komposisinya ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ dan $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) membenarkan kriteria Teorema 1.24. Inti gagasannya: “selesaikan untuk $x$ dan awasi ekuivalensinya” sekaligus merupakan bukti keberadaan, bukti ketunggalan, dan rumusnya — tetapi itu hanya berhasil bila daerah kawannya diumumkan dengan benar ($f$ tidak surjektif ke $\R$).

Contoh 1.27 (Butir (2) sudah tajam)

Pada Proposisi 1.26 (2), kesimpulannya tidak dapat diperkuat: $g \circ f$ bijektif tidak memaksa $f$ surjektif atau $g$ injektif. Ambil $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, dengan $f(1) = 1$ dan $g(1) = g(2) = 1$: maka $g \circ f = \mathrm{id}_E$ bijektif, namun $f$ melewatkan unsur $2$ dan $g$ meleburkan kedua unsurnya. Moralnya adalah aturan pembukuan yang tepat: informasi komposisi mengalir ke pemetaan dalam untuk keinjektifan dan ke pemetaan luar untuk kesurjektifan, tidak pernah sebaliknya. (Latihan 1.9 membangun gejala yang sama dengan himpunan tak hingga, tempat gejala itu menjadi mesin di balik invers sepihak.)

Contoh 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ tidak injektif ($f(-1) = f(1)$) dan tidak pula surjektif ($-1$ tak punya prapeta). Dengan membatasi daerah asal dan daerah kawan, $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ bijektif, dengan invers $y \mapsto \sqrt y$. Keinjektifan atau kesurjektifan sebuah pemetaan bergantung pada daerah asal dan daerah kawan yang diumumkan, bukan hanya pada rumusnya.