Apa itu kekontinuan seragam?

Contoh 13.20

Fungsi $x \mapsto x^2$ kontinu pada $\R$ tetapi tak kontinu seragam: karena $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ padahal argumennya berjarak $\frac 1n \to 0$. Namun pada sebarang selang yang terbatas ia Lipschitz, sehingga kontinu seragam — yang selaras dengan teorema Heine di bawah.

Contoh 13.21 (Modulus keseragamannya, secara eksplisit)

Pada sebuah ruas, Heine menjamin $\delta$ yang seragam; dan sering kali kita juga dapat menghitungnya. Untuk $f(x) = x^2$ pada $\intcc{0}{10}$:

sehingga $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ berlaku secara seragam (yaitu modulus Lipschitz, yang linear dalam $\varepsilon$). Untuk $\sqrt x$ pada $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Latihan 13.9), sehingga $\delta = \varepsilon^2$ berlaku — yang seragam tetapi tak linear: karena di dekat $0$ akar kuadratnya curam, dan harganya muncul pada eksponen $\varepsilon$, bukan pada kegagalan keseragamannya. Inti gagasan penutupnya: bahwa kekontinuan seragam adalah spektrum, bukan ya/tidak — karena fungsi $\delta(\varepsilon)$, yang disebut modulusnya, mengukur seberapa mahal keseragaman itu, dan Lipschitz sekadar peringkatnya yang terbaik.

Contoh 13.23 (Terbatas, kontinu, namun tak seragam)

Fungsi $f(x) = \sin(x^2)$ bersifat kontinu dan terbatas pada $\R$, tetapi tak kontinu seragam. Ambillah

namun $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ untuk setiap $n$: sehingga tak ada $\delta$ tunggal yang dapat melayani $\varepsilon = \frac12$ di mana-mana. Secara geometri, ayunan $\sin(x^2)$ mempercepat: karena grafiknya menuntaskan satu gelombang penuh pada jendela yang kian pendek, sehingga skala mendatar yang dituntut sebuah $\varepsilon$ menyusut ke nol ketika $x$ tumbuh. Inti gagasan penutupnya: bahwa keterbatasan tak membeli keseragaman (menurut contoh ini), dan ketakterbatasan tak menghalanginya ($\sqrt x$, Latihan 13.9); adapun yang memutuskan adalah modulus ayunannya, dan teorema Heine mengatakan bahwa daerah asal yang kompak mendisiplinkannya secara otomatis.