O que é continuidade uniforme?

Exemplo 13.20

$x \mapsto x^2$ é contínua em $\R$, mas não é uniformemente contínua: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$, embora os argumentos estejam à distância $\frac 1n \to 0$. Em qualquer intervalo limitado ela é lipschitziana, logo uniformemente contínua — coerente com o teorema de Heine, abaixo.

Exemplo 13.21 (Módulos uniformes, explicitamente)

Num segmento, Heine garante um $\delta$ uniforme; muitas vezes também se pode calculá-lo. Para $f(x) = x^2$ em $\intcc{0}{10}$:

de modo que $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ serve uniformemente (um módulo lipschitziano, linear em $\varepsilon$). Para $\sqrt x$ em $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Exercício 13.9), de sorte que $\delta = \varepsilon^2$ serve — uniforme, mas não linear: perto de $0$ a raiz quadrada é íngreme, e o preço aparece no expoente de $\varepsilon$, não numa falha de uniformidade. A ideia de fechamento: a continuidade uniforme é um espectro, não um sim/não — a função $\delta(\varepsilon)$, chamada módulo, mede o quão cara é a uniformidade, e ser lipschitziana é simplesmente a sua melhor nota.

Exemplo 13.23 (Limitada, contínua e, ainda assim, não uniformemente)

A função $f(x) = \sin(x^2)$ é contínua e limitada em $\R$, mas não é uniformemente contínua. Tome

e, no entanto, $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ para todo $n$: nenhum $\delta$ único pode servir a $\varepsilon = \frac12$ em toda parte. Geometricamente, as oscilações de $\sin(x^2)$ aceleram: o gráfico completa uma onda inteira em janelas cada vez mais curtas, de modo que a escala horizontal que um dado $\varepsilon$ exige encolhe a zero quando $x$ cresce. A ideia de fechamento: a limitação não compra uniformidade (este exemplo), e a ilimitação não a impede ($\sqrt x$, Exercício 13.9); o que decide é o módulo de oscilação, e o teorema de Heine diz que domínios compactos o disciplinam automaticamente.