Qu'est-ce que « continuité uniforme » ? — Mathématiques

Définition 13.19 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 13 — Limites et continuité

$f \colon I \to \R$ est uniformément continue lorsque

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon .

Le point important : $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$ , et pas de l’endroit où l’on se trouve dans $I$ . La continuité uniforme entraîne la continuité ; une fonction lipschitzienne ( $\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$ ) est uniformément continue ( $\delta = \varepsilon/k$ ).

Exemples

Exemple 13.20

$x \mapsto x^2$ est continue sur $\R$ mais pas uniformément continue : $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ alors que les arguments sont à distance $\frac 1n \to 0$ . Sur tout intervalle borné elle est lipschitzienne, donc uniformément continue — en accord avec le théorème de Heine ci-dessous.

Exemple 13.21 (Modules d’uniformité, explicitement)

Sur un segment, Heine garantit un $\delta$ uniforme ; souvent on peut aussi le calculer. Pour $f(x) = x^2$ sur $\intcc{0}{10}$ :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},

donc $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ convient uniformément (un module lipschitzien, linéaire en $\varepsilon$ ). Pour $\sqrt x$ sur $\intcc{0}{1}$ : $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Exercice 13.9), donc $\delta = \varepsilon^2$ convient — uniforme mais pas linéaire : près de $0$ la racine carrée est raide, et le prix apparaît dans l’exposant de $\varepsilon$ , non dans un défaut d’uniformité. L’idée à retenir : la continuité uniforme est un dégradé, non un oui/non — la fonction $\delta(\varepsilon)$ , appelée module, mesure le coût de l’uniformité, et le caractère lipschitzien en est simplement la meilleure note.

Exemple 13.23 (Bornée, continue, et pourtant pas uniformément)

La fonction $f(x) = \sin(x^2)$ est continue et bornée sur $\R$ , mais pas uniformément continue. Prenons

x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}: \qquad y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} + \sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,

et pourtant $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ pour tout $n$ : aucun $\delta$ unique ne peut servir $\varepsilon = \frac12$ partout. Géométriquement, les oscillations de $\sin(x^2)$ accélèrent : le graphe accomplit une onde complète sur des fenêtres de plus en plus courtes, de sorte que l’échelle horizontale exigée par un $\varepsilon$ donné tend vers zéro quand $x$ grandit. L’idée à retenir : le caractère borné n’achète pas l’uniformité (cet exemple), et le caractère non borné ne l’interdit pas ( $\sqrt x$ , Exercice 13.9) ; ce qui décide, c’est le module d’oscillation, et le théorème de Heine dit que les domaines compacts le disciplinent automatiquement.

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Exemples

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