Apa itu Lapangan kompleks? — Matematika

Definisi 3.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 3 — Bilangan Kompleks

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ dengan penjumlahan biasa dan perkalian yang ditentukan oleh $\iu^2 = -1$ . Setiap $z = a + \iu b$ yang tak nol mempunyai invers: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — dalam bahasa Bab 7, $\C$ adalah sebuah lapangan. Kita tulis $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (yang disebut konjugat) dan $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (yang disebut modulus).

Contoh

Contoh 3.3 (Latihan lengkap modulus dan argumen)

Nyatakan $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ dalam bentuk aljabar lalu hitung modulusnya dengan dua cara. Dengan mengalikan konjugat penyebutnya:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Secara langsung: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Lewat kaidah hasil bagi (Proposisi 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — jawaban yang sama, tanpa perlu bentuk aljabar. Pelajarannya berlaku umum: modulus dan argumen mengalir mulus lewat hasil kali dan hasil bagi, sedangkan bagian real dan bagian imajiner mengalir mulus lewat jumlah. Pilihlah penyajian yang cocok dengan operasi yang sedang dihadapi, dan konversikan hanya bila terpaksa.

Contoh 3.4 (Persamaan yang melibatkan konjugat)

Selesaikan di $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Persamaan yang mencampur $z$ dan $\conj z$ bukan polinomial dalam $z$ ; langkah yang andal adalah memecahnya menjadi koordinat real. Dengan $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

sehingga persamaannya berbunyi $3x = 6$ dan $-y = 2$ : penyelesaiannya tunggal, yaitu $z = 2 - 2\iu$ . (Periksa: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Cara lain, konjugatkan seluruh persamaannya sehingga diperoleh $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ lalu selesaikan sistem linear dengan variabel $z, \conj z$ — jawabannya sama, dan kiat ini berguna ketika koefisiennya kompleks. Persamaan dalam $z$ dan $\conj z$ sesungguhnya sistem dua persamaan real; harapan “derajat $1$ , satu penyelesaian” aman di sini, tetapi $z\conj z = -1$ (tanpa penyelesaian) memperlihatkan gugurnya gerak hati polinomial begitu hasil kali muncul.

Contoh 3.15 (Akar pangkat tiga dari $-27$ )

Selesaikan $z^3 = -27$ . Bentuk eksponensial ruas kanannya: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , jadi ketiga akarnya adalah

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Dua pemeriksaan. Pertama, akar real $-3$ adalah yang paling kasatmata, dan kedua akar lainnya adalah rotasinya sebesar $\pm\frac{2\pi}3$ — setara dengan $-3j$ dan $-3j^2$ . Kedua, aljabar membenarkannya: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , dan kuadratnya berdiskriminan $9 - 36 = -27 < 0$ dengan akar $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . Inti gagasannya: untuk ruas kanan yang real, akar yang tak real selalu datang berpasangan konjugat, sehingga gambar himpunan penyelesaiannya simetris terhadap sumbu real — pratinjau teorema pemfaktoran real pada Bab 8.

Baca dalam konteks →