Wat is uniforme continuïteit?

Voorbeeld 13.20

$x \mapsto x^2$ is continu op $\R$ maar niet uniform continu: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ terwijl de argumenten op afstand $\frac 1n \to 0$ liggen. Op elk begrensd interval is ze lipschitz en dus uniform continu — in overeenstemming met de stelling van Heine hieronder.

Voorbeeld 13.21 (Uniforme moduli, expliciet)

Op een segment waarborgt Heine een uniforme $\delta$; vaak kun je die ook berekenen. Voor $f(x) = x^2$ op $\intcc{0}{10}$:

dus voldoet $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ uniform (een lipschitzmodulus, lineair in $\varepsilon$). Voor $\sqrt x$ op $\intcc{0}{1}$ is $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Oefening 13.9), zodat $\delta = \varepsilon^2$ voldoet — uniform maar niet lineair: vlak bij $0$ is de vierkantswortel steil, en die prijs komt tot uiting in de exponent van $\varepsilon$ en niet in een falen van de uniformiteit. Het inzicht tot slot: uniforme continuïteit is een spectrum en geen ja-of-nee — de functie $\delta(\varepsilon)$, de modulus genoemd, meet hoe duur de uniformiteit is, en lipschitz is eenvoudigweg haar beste cijfer.

Voorbeeld 13.23 (Begrensd, continu, en toch niet uniform)

De functie $f(x) = \sin(x^2)$ is continu en begrensd op $\R$, maar niet uniform continu. Neem

en toch is $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ voor elke $n$: geen enkele $\delta$ kan $\varepsilon = \frac12$ overal bedienen. Meetkundig versnellen de oscillaties van $\sin(x^2)$: de grafiek voltooit een volledige golf over steeds kortere vensters, zodat de horizontale schaal die een gegeven $\varepsilon$ vergt naar nul krimpt naarmate $x$ groeit. Het inzicht tot slot: begrensdheid koopt geen uniformiteit (dit voorbeeld), en onbegrensdheid sluit haar niet uit ($\sqrt x$, Oefening 13.9); beslissend is de oscillatiemodulus, en de stelling van Heine zegt dat compacte domeinen die automatisch disciplineren.