¿Qué es continuidad uniforme?

Ejemplo 13.20

$x \mapsto x^2$ es continua en $\R$ pero no uniformemente continua: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ aunque los argumentos están a distancia $\frac 1n \to 0$. En cualquier intervalo acotado es lipschitziana y, por tanto, uniformemente continua — en consonancia con el teorema de Heine de más abajo.

Ejemplo 13.21 (Módulos uniformes, explícitamente)

En un segmento, Heine garantiza un $\delta$ uniforme; y a menudo también se puede calcular. Para $f(x) = x^2$ en $\intcc{0}{10}$:

así que $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ sirve uniformemente (un módulo lipschitziano, lineal en $\varepsilon$). Para $\sqrt x$ en $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Ejercicio 13.9), luego sirve $\delta = \varepsilon^2$ — uniforme pero no lineal: cerca de $0$ la raíz cuadrada es empinada, y el precio aparece en el exponente de $\varepsilon$, no en un fallo de la uniformidad. La idea de cierre: la continuidad uniforme es un espectro, no un sí/no — la función $\delta(\varepsilon)$, llamada módulo, mide lo cara que es la uniformidad, y ser lipschitziana es sencillamente su mejor nota.

Ejemplo 13.23 (Acotada, continua y, aun así, no uniformemente)

La función $f(x) = \sin(x^2)$ es continua y acotada en $\R$, pero no uniformemente continua. Tómense

y, sin embargo, $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ para todo $n$: ningún $\delta$ único puede servir para $\varepsilon = \frac12$ en todas partes. Geométricamente, las oscilaciones de $\sin(x^2)$ se aceleran: la gráfica completa una onda entera en ventanas cada vez más cortas, de modo que la escala horizontal que exige un $\varepsilon$ dado se encoge hasta cero conforme $x$ crece. La idea de cierre: estar acotada no compra uniformidad (este ejemplo), y no estarlo no la impide ($\sqrt x$, Ejercicio 13.9); lo que decide es el módulo de oscilación, y el teorema de Heine dice que los dominios compactos lo disciplinan automáticamente.