Apa itu Kekontinuan?

Contoh 21.17

Persamaan $x^3 + x = 1$ mempunyai penyelesaian real yang tunggal. Memang $f(x) = x^3 + x$ kontinu dan tegas naik pada $\R$ (sebagai jumlah fungsi yang tegas naik), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ dan $\lim_{+\infty} f = +\infty$, sehingga teorema bijeksi berlaku dengan $k = 1$. Karena $f(0.6) = 0.816 < 1$ dan $f(0.7) = 1.043 > 1$, penyelesaiannya terletak di $\intoo{0.6}{0.7}$.

Contoh 13.7 (Taksonomi ketakkontinuan)

Ada tiga cara gagal di sebuah titik, dengan keparahan yang menaik. Terhapuskan: karena $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ pada $\R^*$ berlimit $1$ di $0$; sehingga menetapkan $f(0) = 1$ memperbaikinya — jadi ketakkontinuannya tadi sebuah lubang, bukan ciri. Lompatan: $\lfloor x \rfloor$ di sebuah bilangan bulat mempunyai limit sepihak yang berbeda ($n - 1$ dan $n$); sehingga tak ada pemilihan nilai yang dapat merukunkannya, tetapi kedua limit separuhnya ada. Hakiki: $\sin\frac1x$ di $0$ sama sekali tak mempunyai limit sepihak (Latihan 13.1) — yaitu ayunan tanpa pengendapan. Adapun fungsi monoton hanya dapat menghasilkan jenis yang di tengah (karena limit sepihaknya selalu ada, sebagai supremum dan infimum), dan itulah sebabnya himpunan ketakkontinuannya paling banyak terbilang — yaitu satu bilangan rasional per lompatan. Sedangkan turunan, menurut teorema Darboux (Latihan 14.10), hanya dapat menghasilkan jenis yang terakhir: jadi fungsi dengan ketakkontinuan lompatan tak pernah menjadi turunan apa pun.

Contoh 13.9 (Maks dan min fungsi yang kontinu)

Jika $f, g$ kontinu, maka $\max(f, g)$ dan $\min(f, g)$ pun kontinu: jadi tanpa analisis kasus, berkat kesamaan

dan kekontinuan jumlah beserta $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposisi 13.8). Khususnya $f^+ = \max(f, 0)$ dan $f^- = \max(-f, 0)$ bersifat kontinu dengan $f = f^+ - f^-$: jadi pemisahan tanda yang dipakai bagi deret (Bab 17) dan, dalam skala penuh, pada teori pengintegralan jilid Tahun ke-3, tidak berongkos apa pun dalam keteraturannya.

Contoh 13.11 (Satu persamaan, dengan protokol lengkapnya)

Pecahkanlah $\eu^x = 3 - x$ di atas $\R$: yaitu keberadaan, ketunggalan, dan letaknya. Tetapkan $g(x) = \eu^x + x - 3$, yang kontinu. Untuk letak dan keberadaannya: $g(0) = -2 < 0$ dan $g(1) = \eu - 2 > 0$, sehingga teorema nilai antara menanamkan sebuah penyelesaian di $\intoo{0}{1}$. Ketunggalannya: karena $g$ merupakan jumlah $\eu^x$ yang naik tegas dengan $x - 3$, sehingga ia naik tegas pada $\R$; dan fungsi yang monoton tegas mengambil setiap nilainya paling banyak sekali, sehingga penyelesaiannya tunggal pada seluruh $\R$ (bukan hanya pada selang yang diperiksa). Adapun protokolnya — susun ulang menjadi $g = 0$, lalu perubahan tanda untuk keberadaannya, lalu kemonotonan untuk ketunggalannya — menyelesaikan kebanyakan pertanyaan “berapa banyak penyelesaiannya” dalam tiga baris, dan tabel variasi pada Bab 14 memperluasnya ke $g$ yang tak monoton dengan memotong $\R$ menjadi cabang yang monoton.