Apa itu ruang metrik lengkap?

Contoh 4.8 (Cauchy tanpa limit)

Di $X = \Q$ dengan jarak biasa, pemotongan desimal $\sqrt2$,

memenuhi $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: jadi Cauchy di $\Q$. Limitnya di $\Q$ akan sekaligus menjadi limitnya di $\R$, yakni $\sqrt2 \notin \Q$: jadi tak ada limitnya di $X$. Ketaklengkapan adalah hadirnya “limit hantu” semacam itu; kelengkapan $\R$ dirancang pada jilid Tahun ke-1 justru untuk memberi rumah bagi setiap barisan Cauchy.

Contoh 4.13 (Sebuah persamaan integral)

Pada $X = C(\intcc{0}{1})$ (yang lengkap, Teorema 4.9), tinjaulah $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. Untuk $f, g \in X$:

jadi $T$ adalah kontraksi berkonstanta $\frac12$: ia punya tepat satu titik tetap yang kontinu — yaitu penyelesaian $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$, yakni $\eu^{x/2}$. Skema ini, setelah diindustrikan, menjadi teorema Cauchy–Lipschitz pada Bab 16.

Contoh 4.14 (Sebuah titik tetap numerik: $x = \cos x$)

Pada $X = \intcc{0}{1}$ yang lengkap, pemetaan $f = \cos$ mengirim $X$ ke dalam $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ dan merupakan kontraksi: menurut ketaksamaan nilai rata-rata,

Menurut Banach: ada tepat satu penyelesaian $x = \cos x$ di $\intcc01$ (jadi juga di $\R$: sebab setiap titik tetap real terletak di $\intcc{-1}{1}$, lalu di $\intcc{\cos 1}{1}$ setelah satu penerapan), dan iterasi $x_{n+1} = \cos x_n$ konvergen ke sana dari awal mana pun: $x_\infty \approx 0.739085$, bilangan masyhur yang diperoleh dengan menggenjot tombol kosinus sebuah kalkulator. Batas galatnya meramalkan peluruhan $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — kira-kira satu angka tiap $13$ tekanan; adapun batas aposteriori pada soal akhir pekan bab ini (pertanyaan 14) mengesahkan tiap langkahnya secara langsung.

Contoh 7.5 (Mengusik identitas)

Misalkan $g \colon \R^d \to \R^d$ Lipschitz-$k$ dengan $k < 1$. Maka $\varphi = \mathrm{id} + g$ merupakan homeomorfisma $\R^d$ pada $\R^d$. Keinjektifannya, beserta modulus kuantitatifnya:

Kesurjektifannya adalah teorema titik tetap: sebab menyelesaikan $\varphi(x) = y$ berarti $x = y - g(x)$, sedangkan $x \mapsto y - g(x)$ merupakan kontraksi-$k$ pada $\R^d$ yang lengkap — jadi ada penyelesaian tunggal $x = \psi(y)$ untuk setiap $y$. Ketaksamaan yang ditampilkan itu membuat invers $\psi$ bersifat Lipschitz dengan konstanta $\frac1{1-k}$: jadi sebuah homeomorfisma, dengan batas eksplisit pada kedua modulusnya. Pernyataan yang tampak sepele ini adalah mesin di dalam teorema fungsi invers (Bab 20): sebab di dekat titik tempat $Df$ terbalikkan, $f$ memang berupa pemetaan linear terbalikkan ditambah usikan Lipschitz yang kecil, dan contoh hari ini mengerjakan sisanya. Ia juga mengukur ketegaran numerik: sistem yang diusik kurang dari margin inversnya tetap dapat diselesaikan, dengan penyelesaiannya bergeser paling banyak $\frac{1}{1-k}$ kali usikannya.