Apa itu Kepadatan, bentuk topologinya?

Contoh 12.17 (Kepadatan bersifat relatif)

“Padat” sebagaimana didefinisikan di sini berarti padat di $\R$; padahal sebuah himpunan boleh saja padat hanya pada sebagian garisnya. Bilangan diadik pada $\intcc{0}{1}$, yakni $D \cap \intcc{0}{1}$ (Latihan 10.8), berpotongan dengan setiap selang terbuka yang termuat $\intcc{0}{1}$ tetapi tentu saja melewatkan $\intoo{2}{3}$ seluruhnya: jadi mereka padat di $\intcc{0}{1}$, yang berarti $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. Adapun frasa umum “$A$ padat di $B$” menyingkat $B \subseteq \overline A$ — jadi namailah selalu himpunan lingkungannya, karena titik ujung pada soal akhir pekan bersifat padat di himpunan Cantor sekaligus tak padat di mana pun di $\R$: yaitu himpunan yang sama, dengan dua pemerian yang jujur namun terdengar berlawanan.

Contoh 12.18 (Menangani kepadatan)

Tiga gerakan cepat yang terus-menerus berulang. Memperbesar: jika $A$ padat dan $A \subseteq B$, maka $B$ padat (karena setiap selang sudah berpotongan dengan $A$). Mengangkut: jika $A$ padat, maka $\lambda A + \mu$ pun padat untuk $\lambda \neq 0$ — karena selang $I$ berpotongan dengan $\lambda A + \mu$ jika dan hanya jika selang $\frac{I - \mu}{\lambda}$ berpotongan dengan $A$; jadi kelipatan ganjil $10^{-9}$, misalnya, bersifat padat. Mengiriskan gagal: karena dua himpunan yang padat dapat saling melewatkan seluruhnya ($\Q$ dan $\R \setminus \Q$): jadi kepadatan bertahan pada gabungan dan pemetaan afin, tetapi tak pernah pada irisan.

Contoh 12.12

Di sini $\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Untuk $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Untuk $\Q$: menurut kepadatannya (Teorema 10.14) setiap bilangan real lekat pada $\Q$, sehingga $\overline{\Q} = \R$ sedangkan $\mathring{\Q} = \emptyset$ (karena setiap selang memuat bilangan irasional): jadi perbatasan $\Q$ adalah seluruh $\R$.