Qu'est-ce que « Densité, forme topologique » ?

Exemple 12.17 (La densité est relative)

« Dense » au sens défini ici signifie dense dans $\R$ ; un ensemble peut au contraire n’être dense que dans une partie de la droite. Les dyadiques de $\intcc{0}{1}$, c’est-à-dire $D \cap \intcc{0}{1}$ (Exercice 10.8), rencontrent tout intervalle ouvert inclus dans $\intcc{0}{1}$ mais manquent bien sûr entièrement $\intoo{2}{3}$ : ils sont denses dans $\intcc{0}{1}$, au sens où $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. La formule générale « $A$ est dense dans $B$ » abrège $B \subseteq \overline A$ — nommez toujours l’ensemble ambiant, car les extrémités du devoir maison sont denses dans l’ensemble de Cantor tout en étant nulle part denses dans $\R$ : le même ensemble, deux descriptions véridiques et d’apparence opposée.

Exemple 12.18 (Manipuler la densité)

Trois gestes rapides qui reviennent constamment. Agrandir : si $A$ est dense et $A \subseteq B$, alors $B$ est dense (tout intervalle rencontre déjà $A$). Transporter : si $A$ est dense, alors $\lambda A + \mu$ l’est aussi pour $\lambda \neq 0$ — un intervalle $I$ rencontre $\lambda A + \mu$ si et seulement si l’intervalle $\frac{I - \mu}{\lambda}$ rencontre $A$ ; ainsi les multiples impairs de $10^{-9}$, par exemple, sont denses. Intersecter échoue : deux ensembles denses peuvent se manquer entièrement ($\Q$ et $\R \setminus \Q$) : la densité survit aux réunions et aux applications affines, jamais aux intersections.

Exemple 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Pour $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Pour $\Q$ : par densité (Théorème 10.14) tout réel est adhérent à $\Q$, donc $\overline{\Q} = \R$ tandis que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (tout intervalle contient des irrationnels) : la frontière de $\Q$ est $\R$ tout entier.