¿Qué es Densidad, forma topológica?

Ejemplo 12.17 (La densidad es relativa)

«Denso» tal como se ha definido aquí significa denso en $\R$; un conjunto puede en cambio ser denso solo en una parte de la recta. Los diádicos de $\intcc{0}{1}$, es decir, $D \cap \intcc{0}{1}$ (Ejercicio 10.8), cortan a todo intervalo abierto incluido en $\intcc{0}{1}$, pero por supuesto no tocan $\intoo{2}{3}$: son densos en $\intcc{0}{1}$, es decir, $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. La frase general «$A$ es denso en $B$» abrevia $B \subseteq \overline A$ — nómbrese siempre el conjunto ambiente, pues los extremos del problema del fin de semana son densos en el conjunto de Cantor y a la vez densos en ninguna parte de $\R$: el mismo conjunto, dos descripciones veraces y de sonido opuesto.

Ejemplo 12.18 (Manejar la densidad)

Tres movimientos rápidos que se repiten constantemente. Agrandar: si $A$ es denso y $A \subseteq B$, entonces $B$ es denso (todo intervalo ya corta a $A$). Transportar: si $A$ es denso, también lo es $\lambda A + \mu$ para $\lambda \neq 0$ — un intervalo $I$ corta a $\lambda A + \mu$ si y solo si el intervalo $\frac{I - \mu}{\lambda}$ corta a $A$; así, los múltiplos impares de $10^{-9}$, por ejemplo, son densos. Intersecar falla: dos conjuntos densos pueden no cortarse en absoluto ($\Q$ y $\R \setminus \Q$): la densidad sobrevive a las uniones y a las aplicaciones afines, nunca a las intersecciones.

Ejemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Para $\Q$: por densidad (Teorema 10.14), todo real es adherente a $\Q$, luego $\overline{\Q} = \R$, mientras que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo intervalo contiene irracionales): la frontera de $\Q$ es todo $\R$.