Wat is Dichtheid, topologische vorm?

Voorbeeld 12.17 (Dichtheid is relatief)

“Dicht” zoals hier gedefinieerd betekent dicht in $\R$; een verzameling kan in plaats daarvan slechts in een deel van de rechte dicht liggen. De dyadische getallen van $\intcc{0}{1}$, dus $D \cap \intcc{0}{1}$ (Oefening 10.8), ontmoeten elk open interval dat in $\intcc{0}{1}$ ligt, maar missen $\intoo{2}{3}$ natuurlijk volledig: ze liggen dicht in $\intcc{0}{1}$, wat betekent $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. De algemene uitdrukking “$A$ ligt dicht in $B$” staat kort voor $B \subseteq \overline A$ — benoem altijd de omgevende verzameling, want de eindpunten uit de weekendopgave liggen dicht in de Cantorverzameling terwijl ze nergens dicht liggen in $\R$: dezelfde verzameling, twee waarheidsgetrouwe en tegengesteld klinkende beschrijvingen.

Voorbeeld 12.18 (Met dichtheid omgaan)

Drie snelle zetten die voortdurend terugkeren. Vergroten: ligt $A$ dicht en is $A \subseteq B$, dan ligt $B$ dicht (elk interval ontmoet $A$ al). Vervoeren: ligt $A$ dicht, dan ook $\lambda A + \mu$ voor $\lambda \neq 0$ — een interval $I$ ontmoet $\lambda A + \mu$ precies wanneer het interval $\frac{I - \mu}{\lambda}$ de verzameling $A$ ontmoet; zo liggen bijvoorbeeld de oneven veelvouden van $10^{-9}$ dicht. Doorsnijden faalt: twee dichte verzamelingen kunnen elkaar volledig missen ($\Q$ en $\R \setminus \Q$): dichtheid overleeft verenigingen en affiene afbeeldingen, nooit doorsneden.

Voorbeeld 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Voor $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ is $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$ en $\partial A = A \cup \{0\}$. Voor $\Q$: wegens de dichtheid (Stelling 10.14) is elk reëel getal adherent aan $\Q$, dus $\overline{\Q} = \R$, terwijl $\mathring{\Q} = \emptyset$ (elk interval bevat irrationale getallen): de rand van $\Q$ is heel $\R$.