Apa itu operator swa-adjoin? — Matematika

Definisi 15.4 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 15 — Operator Kompak dan Teorema Spektral

Sebuah $T \in \mathcal L(H)$ disebut swa-adjoin jika $T = T^*$ (Latihan 13.8), yakni $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ untuk setiap $x, y$ . Maka $\langle x, Tx\rangle \in \R$ untuk setiap $x$ (sebab ia sama dengan konjugatnya).

Contoh

Contoh 15.9

Pada $L^2(\intcc01)$ , misalkan $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : yakni operator Hilbert–Schmidt berkernel setangkup real: jadi kompak dan swa-adjoin. Untuk menyelesaikan $Tf = \lambda f$ : hubungan $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ menunjukkan bahwa $u = Tf$ memenuhi $u'' = -f$ (lewat dua penurunan, yang sah untuk $f$ yang kontinu, dan $Tf$ bersifat kontinu untuk $f \in L^2$ : lewat kekonvergenan terdominasi), dengan $u(0) = 0$ dan $u'(1) = 0$ . Jadi fungsi eigennya menyelesaikan $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ :

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

dan teorema spektralnya menyatakan — tanpa teori Fourier apa pun — bahwa sinus ini membentuk basis ortonormal $L^2(\intcc01)$ setelah dinormalkan (sebab kernel $T$ adalah $0$ : karena $Tf = 0$ memaksa, lewat kedua penurunannya, $f = 0$ hampir di mana-mana). Sedangkan soal akhir pekannya menjalankan lingkaran gagasan yang sama untuk dawai yang bergetar lalu memetik $\zeta(2)$ dari tracenya.

Baca dalam konteks →