Apa itu operator swa-adjoin?

Contoh 15.9

Pada $L^2(\intcc01)$, misalkan $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: yakni operator Hilbert–Schmidt berkernel setangkup real: jadi kompak dan swa-adjoin. Untuk menyelesaikan $Tf = \lambda f$: hubungan $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ menunjukkan bahwa $u = Tf$ memenuhi $u'' = -f$ (lewat dua penurunan, yang sah untuk $f$ yang kontinu, dan $Tf$ bersifat kontinu untuk $f \in L^2$: lewat kekonvergenan terdominasi), dengan $u(0) = 0$ dan $u'(1) = 0$. Jadi fungsi eigennya menyelesaikan $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$:

dan teorema spektralnya menyatakan — tanpa teori Fourier apa pun — bahwa sinus ini membentuk basis ortonormal $L^2(\intcc01)$ setelah dinormalkan (sebab kernel $T$ adalah $0$: karena $Tf = 0$ memaksa, lewat kedua penurunannya, $f = 0$ hampir di mana-mana). Sedangkan soal akhir pekannya menjalankan lingkaran gagasan yang sama untuk dawai yang bergetar lalu memetik $\zeta(2)$ dari tracenya.