Apa itu pemetaan kontinu?

Contoh 6.11

Kuosien $\R/\Z$ (dengan mengenali $x$ dan $x + n$) homeomorfik dengan lingkaran $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: sebab pemetaan $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ beralih menjadi bijeksi kontinu $\R/\Z \to S^1$ (Proposisi 6.10(b)); sedangkan inversnya kontinu menurut argumen kekompakan pada Akibat 6.14 di bawah (Latihan 6.5 merincikan semuanya, termasuk mengapa $\R/\Z$ bersifat Hausdorff dan kompak). Demikian pula $[0,1]$ dengan kedua ujungnya direkatkan adalah $S^1$, persegi dengan sisi berhadapannya direkatkan adalah torus, dan perekatan akhirnya menjadi teorema, bukan gambar.

Contoh 6.22 (Kurva sinus topolog)

Misalkan $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ dan $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (sebab setiap titik $(0, y)$ dengan $\abs y \leq 1$ merupakan limit titik $\Gamma$: selesaikan $\sin\frac1x = y$ di dekat $0$). Maka $S$ bersifat terhubung — sebagai penutup $\Gamma$ yang terhubung, yaitu peta kontinu $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — tetapi tidak terhubung lintasan: sebab lintasan dari $(1, \sin 1)$ ke $(0,0)$ harus melintasi absis yang $\to 0$ sementara ordinatnya berayun antara $\pm1$; Latihan 6.9 membuatnya ketat. Keterhubungan dan keterhubungan lintasan memang benar-benar berbeda.