Matematika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

15Operator Kompak dan Teorema Spektral

Pendiagonalan adalah permata mahkota aljabar linear berdimensi berhingga: sebab matriks setangkup mempunyai basis ortonormal berisi vektor eigen. Dalam dimensi tak berhingga hal ini gagal bagi operator swa-adjoin terbatas pada umumnya — sebab perkalian dengan $x$ pada $L^2(\intcc01)$ sama sekali tak bernilai eigen (Latihan 15.6) — tetapi ia bertahan, dalam bentuk yang sempurna, bagi operator yang hampir berdimensi berhingga: yakni yang kompak. Teorema spektral bagi operator swa-adjoin kompak merupakan teorema yang paling banyak dipakai dalam analisis fungsional terapan: ia mendiagonalkan persamaan integral, menggerakkan alternatif Fredholm, dan (pada soal akhir pekannya) menyelesaikan dawai yang bergetar, sambil menghasilkan basis sinus analisis Fourier dari teori operator belaka — dengan $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ milik Euler yang jatuh dari sebuah rumus trace sebagai hadiah perpisahan. Sepanjang bab ini, $H$ adalah ruang Hilbert atas $\C$ (atau $\R$ ; pernyataannya menyesuaikan), dan operatornya terbatas.

15.1 Operator kompak

Definisi 15.1

Sebuah $T \in \mathcal L(E, F)$ (dengan $E, F$ Banach) disebut kompak jika peta $T(B)$ atas bola satuannya bersifat kompak relatif di $F$ — setara dengan itu, setiap barisan terbatas $(x_n)$ mempunyai subbarisan yang $(Tx_{n_k})$ -nya konvergen. Operator rank berhingga bersifat kompak (sebab himpunan terbatas dalam dimensi berhingga); sedangkan identitas ruang berdimensi tak berhingga tak pernah demikian (menurut teorema Riesz, Tahun ke-2).

Proposisi 15.2

Operator kompaknya $\mathcal K(E, F)$ membentuk subruang tertutup $\mathcal L(E, F)$ , sekaligus ideal dua sisi: yakni $S$ kompak $\Rightarrow$ $AS$ dan $SB$ kompak untuk $A, B$ yang terbatas. Lebih lanjut, pada ruang Hilbert, setiap operator kompak merupakan limit norma operator rank berhingga.

Bukti. Subruangnya: jelas dari pencirian barisannya. Idealnya: sebab pemetaan terbatas mengirim barisan konvergen ke barisan konvergen dan yang terbatas ke yang terbatas. Ketertutupannya: misalkan $T_n \to T$ dengan $T_n$ kompak, dan $(x_k)$ terbatas oleh $1$ ; maka pemetikan diagonal membuat $(T_nx_{k_j})_j$ konvergen untuk setiap $n$ ; lalu $(Tx_{k_j})$ bersifat Cauchy, sebab

\norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} ,

dengan memilih $n$ lebih dahulu lalu indeksnya. Untuk penghampiran pada ruang Hilbertnya: misalkan $T$ kompak dan $K = \overline{T(B)}$ kompak; lalu diberikan $\varepsilon$ , selimuti $K$ oleh berhingga banyak bola $B(y_i, \varepsilon)$ dan misalkan $P$ proyeksi ortogonal ke $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ (yang tertutup sebab berdimensi berhingga). Maka $PT$ mempunyai rank berhingga, dan untuk $\norm x \leq 1$ : dengan memilih $y_i$ yang $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$ ,

\norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon

(sebab $y_i = Py_i$ dan $\vertiii P \leq 1$ ): sehingga $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$ . ∎

Contoh 15.3

(a) Operator diagonal pada $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ bersifat kompak jika dan hanya jika $\lambda_n \to 0$ (Latihan 15.2). (b) Operator kernel pada $\mathcal C(\intcc01)$ : kompak menurut Ascoli (Latihan 7.7). (c) Operator Hilbert–Schmidt: untuk $k \in L^2(\intcc01^2)$ ,

(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y

mendefinisikan operator kompak pada $L^2(\intcc01)$ dengan $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Latihan 15.4: sebab memancung uraian basis $k$ menampilkan $T_k$ sebagai limit operator rank berhingga).

15.2 Operator swa-adjoin

Definisi 15.4

Sebuah $T \in \mathcal L(H)$ disebut swa-adjoin jika $T = T^*$ (Latihan 13.8), yakni $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ untuk setiap $x, y$ . Maka $\langle x, Tx\rangle \in \R$ untuk setiap $x$ (sebab ia sama dengan konjugatnya).

Proposisi 15.5

Untuk $T$ yang swa-adjoin:

\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} .

Nilai eigen $T$ bersifat real, dan vektor eigen bagi nilai eigen yang berbeda saling ortogonal.

Bukti. Misalkan $M$ supremumnya; maka $M \leq \vertiii T$ menurut Cauchy–Schwarz. Sebaliknya, identitas bertipe polarisasi

\langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle

(uraikanlah; sebab suku silangnya $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ menurut keswa-adjoinannya) memberikan, bersama hukum jajaran genjangnya,

4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr).

Lalu untuk $\norm x = 1$ dengan $Tx \neq 0$ , ambillah $y = Tx/\norm{Tx}$ : sehingga $4\norm{Tx} \leq 4M$ . Jadi $\vertiii T \leq M$ . Untuk nilai eigennya: $Tx = \lambda x$ dengan $x \ne 0$ memberikan $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$ . Untuk keortogonalannya: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ dengan $\lambda \neq \mu$ yang real. ∎

15.3 Teorema spektralnya

Lema 15.6 (Keberadaan sebuah nilai eigen ekstrem)

Misalkan $T \neq 0$ kompak dan swa-adjoin. Maka $\vertiii T$ atau $-\vertiii T$ merupakan nilai eigen $T$ .

Bukti. Menurut Proposisi 15.5, pilihlah vektor satuan $x_n$ dengan $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$ , dengan $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (lalu beralihlah ke subbarisan untuk menetapkan tandanya). Maka

\norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 .

Lewat kekompakannya, sebuah subbarisan $Tx_{n_k} \to y$ ; lalu $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$ , sehingga $x_{n_k} \to x = y/\mu$ , yakni sebuah vektor satuan, dan kekontinuannya memberikan $Tx = \mu x$ . ∎

Teorema 15.7 (Teorema spektral bagi operator swa-adjoin kompak)

Misalkan $T$ operator swa-adjoin kompak pada ruang Hilbert $H$ .

$H$ memiliki sistem ortonormal $(e_n)_{n \in N}$ ( $N$ berhingga atau terbilang) berisi vektor eigen $T$ , dengan nilai eigen $(\lambda_n)$ yang real dan tak nol, sedemikian sehingga

$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$

dan $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$ .
Jika $N$ tak berhingga, maka $\lambda_n \to 0$ ; lalu untuk setiap $\delta > 0$ hanya berhingga banyak $n$ yang mempunyai $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , dan setiap ruang eigen $\ker(T - \lambda)$ dengan $\lambda \neq 0$ berdimensi berhingga.
Melengkapkan $(e_n)$ dengan sebuah basis ortonormal $\ker T$ melahirkan, bila $H$ terpisahkan, sebuah basis ortonormal $H$ yang terbuat dari vektor eigen: sehingga $T$ terdiagonalkan.

Bukti. (2) lebih dahulu. Seandainya tak berhingga banyak vektor eigen ortonormal $x_k$ mempunyai $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$ : maka $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (menurut keortogonalannya dan Pythagoras): sehingga tak ada subbarisan $(Tx_k)$ yang konvergen, yang bertentangan dengan kekompakan $T$ pada $(x_k)$ yang terbatas. Ini membatasi, untuk setiap $\delta$ , kelipatan total nilai eigen di luar $\intoo{-\delta}\delta$ oleh sebuah bilangan berhingga; sehingga keterbilangannya dan $\lambda_n \to 0$ menyusul.

(1) Misalkan $H_0$ rentang tertutup atas semua vektor eigen bernilai eigen tak nol, yang ditata (menurut (2) dan Gram–Schmidt di dalam setiap ruang eigen berdimensi berhingga, dengan keortogonalan antarruang eigennya dari Proposisi 15.5) menjadi sistem ortonormal $(e_n)$ bernilai eigen $\lambda_n \neq 0$ . Lalu $T$ memetakan $H_0$ ke $H_0$ , dan juga $H_0^\perp$ ke $H_0^\perp$ : sebab untuk $y \perp H_0$ dan $e$ sebuah vektor eigen, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$ . Sedangkan pembatasan $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ bersifat swa-adjoin kompak pada ruang Hilbert $H_0^\perp$ ; dan jika $T' \neq 0$ , maka Lema 15.6 menghasilkan sebuah vektor eigen $T$ bernilai eigen tak nol di dalam $H_0^\perp$ — yang mustahil, sebab vektor semacam itu tinggal di $H_0$ . Jadi $T' = 0$ : sehingga $H_0^\perp \subseteq \ker T$ . Sebaliknya $\ker T \perp$ setiap $e_n$ (sebab $\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$ ): jadi $\ker T \subseteq H_0^\perp$ , sehingga $\ker T = H_0^\perp$ beserta penguraian ortogonalnya. Untuk uraiannya: bagi $x = z + \sum_nc_ne_n$ (dengan $z \in \ker T$ dan $c_n = \langle e_n, x\rangle$ ; Teorema 13.7(1) pada $H_0$ ), kekontinuan $T$ memberikan $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$ .

(3) Ruang $\ker T$ , sebagai subruang tertutup ruang yang terpisahkan, bersifat terpisahkan: sehingga ia mempunyai basis ortonormal (Proposisi 13.8); dan gabungannya merupakan basis ortonormal $H$ menurut penguraian pada (1). ∎

Teorema 15.8 (Alternatif Fredholm)

Misalkan $T$ swa-adjoin kompak dan $\lambda \in \R\setminus \{0\}$ .

Jika $\lambda$ bukan nilai eigen, maka $T - \lambda I$ bersifat bijektif dengan balikan terbatas: sehingga untuk setiap $f$ , persamaan $Tx - \lambda x = f$ mempunyai tepat satu solusi, yang bergantung kontinu pada $f$ .
Jika $\lambda$ merupakan nilai eigen, maka $Tx - \lambda x = f$ terselesaikan jika dan hanya jika $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , dan solusinya tunggal sampai kernel (berdimensi berhingga) itu.

Bukti. Uraikan $x = z + \sum c_ne_n$ dan $f = w + \sum d_ne_n$ sepanjang Teorema 15.7 (dengan $z, w \in \ker T$ ). Maka persamaannya berbunyi

-\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N).

(1) Bila $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$ : menurut (2) teorema spektralnya, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (sebab nilai eigennya menumpuk hanya di $0 \neq \lambda$ ). Lalu selesaikan: $z = -w/\lambda$ dan $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$ , dengan $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$ : yakni satu-satunya solusi dengan $\norm x \leq C\norm f$ . (2) Bila $\lambda = \lambda_{n}$ untuk $n$ pada sebuah himpunan berhingga $F$ : keterselesaian $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ untuk $n \in F$ menuntut $d_n = 0$ , yakni $f \perp e_n$ (bila $n \in F$ ), yakni $f \perp \ker(T - \lambda I)$ ; sedangkan $c_n$ dengan $n \in F$ lalu bebas. ∎

Contoh 15.9

Pada $L^2(\intcc01)$ , misalkan $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : yakni operator Hilbert–Schmidt berkernel setangkup real: jadi kompak dan swa-adjoin. Untuk menyelesaikan $Tf = \lambda f$ : hubungan $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ menunjukkan bahwa $u = Tf$ memenuhi $u'' = -f$ (lewat dua penurunan, yang sah untuk $f$ yang kontinu, dan $Tf$ bersifat kontinu untuk $f \in L^2$ : lewat kekonvergenan terdominasi), dengan $u(0) = 0$ dan $u'(1) = 0$ . Jadi fungsi eigennya menyelesaikan $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ :

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

dan teorema spektralnya menyatakan — tanpa teori Fourier apa pun — bahwa sinus ini membentuk basis ortonormal $L^2(\intcc01)$ setelah dinormalkan (sebab kernel $T$ adalah $0$ : karena $Tf = 0$ memaksa, lewat kedua penurunannya, $f = 0$ hampir di mana-mana). Sedangkan soal akhir pekannya menjalankan lingkaran gagasan yang sama untuk dawai yang bergetar lalu memetik $\zeta(2)$ dari tracenya.

Metode 15.10

Diberikan sebuah persamaan integral atau diferensial: (1) tuangkanlah kembali sebagai $(I - \lambda K)u = f$ atau $Ku = \lambda u$ dengan $K$ sebuah operator integral; (2) periksalah $K$ kompak (lewat kernel Hilbert–Schmidt atau Ascoli) dan, bila mungkin, swa-adjoin (lewat kernel real yang setangkup); (3) diagonalkanlah dengan teorema spektralnya atau panggillah alternatif Fredholm untuk keterselesaiannya; (4) lalu bacalah keberadaan, ketunggalan, kestabilan, dan rumus deret bagi solusinya pada basis eigennya. Operator diferensial bersifat tak terbatas, tetapi balikannya (yakni operator Green) bersifat kompak: jadi balikkanlah selalu lebih dahulu.

15.4 Latihan

Latihan 15.1 ★

(a) Tunjukkan bahwa operator terbatas yang jangkauannya berdimensi berhingga bersifat kompak. (b) Tunjukkan bahwa identitas sebuah ruang bernorma bersifat kompak jika dan hanya jika dimensinya berhingga (menurut Riesz, Tahun ke-2). Lalu turunkan bahwa operator kompak pada ruang berdimensi tak berhingga tak pernah terbalikkan dengan balikan yang terbatas.

Solusi

Solusi Latihan 15.1.

(a) Himpunan $T(B)$ merupakan himpunan bagian terbatas dari $\operatorname{im}T$ yang berdimensi berhingga: jadi kompak relatif menurut Heine–Borel (Akibat 6.17, yang dipindahkan lewat homeomorfisma linear dengan $\R^n$ ). (b) Bahwa $I$ kompak berarti bola satuan tertutupnya kompak, yang menurut teorema Riesz (Tahun ke-2) terjadi tepat dalam dimensi berhingga. Jika sebuah $T$ yang kompak berbalikan terbatas $T^{-1}$ , maka $I = T^{-1}T$ akan kompak (Proposisi 15.2): yang mustahil dalam dimensi tak berhingga.

Latihan 15.2 ★

Misalkan $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ pada $\ell^2$ , dengan $(\lambda_n)$ yang terbatas. (a) Tunjukkan $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$ . (b) Tunjukkan bahwa $T$ kompak jika dan hanya jika $\lambda_n \to 0$ . (Untuk $\Leftarrow$ , pancunglah; sedangkan untuk $\Rightarrow$ , ujilah pada $(e_n)$ .) (c) Kapankah $T$ bersifat swa-adjoin? Lalu periksalah teorema spektralnya lewat pengamatan pada kasus itu.

Solusi

Solusi Latihan 15.2.

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$ , dengan kesamaan hampiran pada $e_n$ yang mewujudkan supremumnya. (b) ( $\Leftarrow$ ) Pancungannya $T_N$ (yang menyimpan $n \leq N$ dan nol selebihnya) mempunyai rank berhingga dengan $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$ : jadi kompak menurut Proposisi 15.2. ( $\Rightarrow$ ) Jika $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ sepanjang sebuah subbarisan: maka $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$ : sehingga tak ada subbarisan $(Te_{n_k})$ yang konvergen. (c) $T^* =$ diagonal dengan $(\bar\lambda_n)$ : jadi swa-adjoin jika dan hanya jika semua $\lambda_n \in \R$ . Lalu basis bakunya $(e_n)$ merupakan basis ortonormal berisi vektor eigen, bernilai eigen $\lambda_n \to 0$ : yakni teorema spektralnya kata demi kata.

Latihan 15.3 ★★

Berikan rincian sifat idealnya (Proposisi 15.2): bahwa jika $S$ kompak dan $A, B$ terbatas, maka $ASB$ kompak. Lalu turunkan bahwa jika $ST = TS = I$ untuk suatu $S$ yang terbatas, dan $\dim H = \infty$ , maka $T$ tak kompak — lalu damaikanlah dengan Latihan 15.1(b).

Solusi

Solusi Latihan 15.3.

Misalkan $(x_n)$ terbatas. Maka $(Bx_n)$ terbatas (sebab $\vertiii B < \infty$ ); lalu kekompakan $S$ memetik $SBx_{n_k} \to y$ ; dan kekontinuan $A$ memberikan $ASBx_{n_k} \to Ay$ : sehingga $ASB$ kompak. Jika $ST = TS = I$ dengan $T$ kompak dan $\dim H = \infty$ : maka $I = ST$ akan kompak, yang bertentangan dengan Latihan 15.1(b) — yakni pernyataan yang sama dilihat dari sisi lainnya.

Latihan 15.4 ★★

(Hilbert–Schmidt) Misalkan $k \in L^2(\intcc01^2)$ dan $(e_n)$ sebuah basis Hilbert $L^2(\intcc01)$ . (a) Tunjukkan bahwa $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (lewat Cauchy–Schwarz pada variabel- $y$ , lalu Tonelli). (b) Uraikan $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ di $L^2$ pada bujur sangkarnya (benarkanlah bahwa hasil kalinya membentuk basis Hilbert di sana), lalu tunjukkan bahwa memancung jumlahnya memberikan operator rank berhingga yang konvergen ke $T_k$ dalam norma operator: sehingga $T_k$ kompak.

Solusi

Solusi Latihan 15.4.

(a) Lewat Cauchy–Schwarz pada $y$ : $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$ ; lalu integralkan terhadap $x$ (lewat Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$ .

(b) Keluarga $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ bersifat ortonormal di $L^2(\intcc01^2)$ (sebab Tonelli memisahkan integral rangkapnya). Untuk ketotalannya: jika $h \perp$ semua $e_{mn}$ , maka untuk setiap $m$ , fungsi $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (yang berada di $L^2$ menurut Cauchy–Schwarz dan Tonelli) ortogonal terhadap setiap $\overline{e_n}$ — dan konjugatnya $(\overline{e_n})$ membentuk basis Hilbert setiap kali $(e_n)$ demikian (sebab pengonjugatan merupakan bijeksi isometrik $L^2$ yang mengawetkan keortogonalan dan ketotalan) — sehingga ia $0$ hampir di mana-mana; lalu untuk hampir setiap $y$ , $h(\cdot, y) \perp$ setiap $e_m$ : jadi $h(\cdot, y) = 0$ hampir di mana-mana, sehingga $h = 0$ (lewat Tonelli). Jadi $(e_{mn})$ merupakan basis Hilbert; lalu uraikan $k = \sum c_{mn}e_{mn}$ . Pancungannya $k_N$ (dengan indeks $\leq N$ ) memberikan $T_{k_N}$ yang mempunyai rank berhingga (dengan jangkauan di $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$ ), dan menurut (a),

\vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 :

sehingga $T_k$ merupakan limit norma operator rank berhingga: jadi kompak (Proposisi 15.2).

Latihan 15.5 ★★

Misalkan $T$ swa-adjoin dengan $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ untuk setiap $x$ (yakni operator positif). (a) Tunjukkan bahwa nilai eigennya $\geq 0$ dan bahwa $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$ . (b) Buktikan ketaksamaan Cauchy–Schwarz yang diperumum $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$ .

Solusi

Solusi Latihan 15.5.

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ pada sebuah vektor eigen. Sedangkan rumusnya adalah Proposisi 15.5 dengan semua nilainya $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ : sehingga nilai mutlaknya berlebihan. (b) Pemetaan $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ merupakan bentuk seskuilinear Hermite positif (yang mungkin merosot); dan bukti Cauchy–Schwarz yang lazim (yakni menguraikan $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ lalu mengambil diskriminannya) tak pernah memakai kedefinitannya.

Latihan 15.6 ★★

Pada $L^2(\intcc01)$ , misalkan $(Mf)(x) = x\,f(x)$ . (a) Tunjukkan bahwa $M$ terbatas, swa-adjoin, dengan $\vertiii M = 1$ , tetapi sama sekali tak bernilai eigen. (b) Tunjukkan bahwa $M$ tak kompak (tampilkan sebuah barisan terbatas yang petanya tak bersubbarisan konvergen, misalnya indikator ternormalkan selang yang menyusut di dekat $1$ — atau panggillah teorema spektralnya). (c) Di manakah bukti Lema 15.6 patah bagi $M$ ?

Solusi

Solusi Latihan 15.6.

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ , dan pada $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (yakni vektor satuan), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$ : sehingga $\vertiii M = 1$ ; dan ia swa-adjoin sebab pengalinya real. Untuk nilai eigennya: $xf(x) = \lambda f(x)$ hampir di mana-mana memaksa $f = 0$ hampir di mana-mana di luar himpunan nol $\{x = \lambda\}$ : jadi $f = 0$ di $L^2$ . (b) Dengan $f_n$ yang sama: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$ , sedangkan $f_n \rightharpoonup 0$ (sebab untuk $g \in L^2$ yang tetap, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ lewat kekonvergenan terdominasi). Jika $Mf_{n_k} \to h$ dalam norma, maka $f_{n_k} \to h$ , yang memaksa $h = 0$ (lewat limit lemahnya) padahal $\norm h = 1$ : jadi tak ada subbarisan yang konvergen. (c) Pada Lema 15.6, tepatnya pemetikan “ $Tx_{n_k} \to y$ ” yang memakai kekompakannya; sedangkan untuk $M$ barisan pemberi maksimumnya memusat di dekat $x = 1$ dan petanya konvergen lemah ke $0$ , tak pernah dalam norma: sehingga vektor eigen di puncak jangkauan numeriknya sekadar gagal ada.

Latihan 15.7 ★★

(Volterra) Pada $L^2(\intcc01)$ , misalkan $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$ . (a) Tunjukkan bahwa $V$ kompak (yakni Hilbert–Schmidt berkernel $\mathbf 1_{y < x}$ ) tetapi tak swa-adjoin; lalu hitunglah $V^*$ . (b) Tunjukkan bahwa $V$ tak bernilai eigen tak nol. (Dari $Vf = \lambda f$ : $f$ mempunyai wakil yang kontinu, lalu bersifat $\mathcal C^1$ , dan menyelesaikan $\lambda f' = f$ dengan $f(0) = 0$ .) (c) Simpulkan bahwa kekompakan saja sama sekali tak melahirkan vektor eigen: sehingga keswa-adjoinan pada Teorema 15.7 bersifat mendasar.

Solusi

Solusi Latihan 15.7.

(a) $V = T_k$ dengan $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ : jadi kompak (Latihan 15.4). Adjoinnya adalah operator kernel berkernel $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ : yakni $V^*f(x) = \int_x^1f$ ; sehingga $V \neq V^*$ (ujilah pada $f = \mathbf 1$ ). (b) Jika $Vf = \lambda f$ dengan $\lambda \ne 0$ : maka $Vf$ kontinu pada $\intcc01$ (lewat kekonvergenan terdominasi pada $\int_0^x f$ ), sehingga $f = \frac1\lambda Vf$ mempunyai wakil yang kontinu; lalu $Vf$ bersifat $\mathcal C^1$ (menurut teorema fundamental kalkulus untuk integran kontinu), sehingga $f$ bersifat $\mathcal C^1$ , dan $\lambda f' = f$ dengan $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ : jadi $f = C\eu^{x/\lambda}$ dengan $C = f(0) = 0$ . (c) Jadi $V$ kompak tanpa nilai eigen sama sekali kecuali mungkin $0$ (sebab $Vf = 0$ memaksa $f = 0$ hampir di mana-mana lewat menurunkan integralnya — jadi bahkan $0$ pun tidak): sehingga mesin spektralnya sungguh menuntut keswa-adjoinan, bukan sekadar kekompakan.

Latihan 15.8 ★★★

(Courant–Fischer) Misalkan $T$ kompak, swa-adjoin, dan positif, bernilai eigen $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (yang berulang menurut kelipatannya, dengan vektor eigen $e_1, e_2, \dots$ ). Tunjukkan bahwa:

\mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle .

(Ujilah $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ ; sedangkan untuk batas atasnya iriskan sembarang $V$ dengan ruang bertipe $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$ : sebab pencacahan dimensinya memaksa irisan yang tak nol.) Lalu turunkan bahwa nilai eigennya bergantung monoton pada $T$ (yakni $T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$ ).

Solusi

Solusi Latihan 15.8.

Tulis $x = \sum_ic_ie_i + z$ dengan $z \in \ker T$ , sehingga $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$ . Batas bawahnya: pada bola satuan $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ , $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$ : sehingga maksimum atas $V$ dari minimumnya bernilai $\geq \mu_k$ . Batas atasnya: misalkan $\dim V = k$ dan $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$ , yang berkodimensi $k - 1$ (sebab komplemen ortogonalnya adalah $V_{k-1}$ ); maka $V \cap W_k \neq \{0\}$ (sebab pemetaan linear $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ yang ranknya $\leq k - 1$ berkernel tak trivial), dan sebuah satuan $x \in V\cap W_k$ mempunyai $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$ : sehingga minimum atas $V$ bernilai $\leq \mu_k$ . Digabungkan: yakni rumus pertamanya; sedangkan yang kedua dibuktikan secara setangkup (ujilah $W = W_k$ ; dan untuk $W$ sembarang yang berkodimensi $k-1$ , $W \cap V_k \neq 0$ memberikan sebuah vektor satuan dengan $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$ ). Untuk kemonotonannya: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ secara titik demi titik berpindah lewat $\max\min$ -nya.

Latihan 15.9 ★★

Dengan memakai Teorema 15.8 untuk $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ (Contoh 15.9): untuk $\lambda \in \R$ yang mana persamaan integral

f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x)

mempunyai tepat satu solusi $f \in L^2$ untuk setiap $g \in L^2$ ? Apa yang terjadi pada nilai kecualiannya?

Solusi

Solusi Latihan 15.9.

Tulis ulang $f - \lambda Tf = g$ . Untuk $\lambda = 0$ : $f = g$ , yang selalu terselesaikan secara tunggal. Untuk $\lambda \neq 0$ : ini adalah $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ , sehingga menurut alternatif Fredholm (Teorema 15.8) dengan nilai eigen $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ milik $T$ (Contoh 15.9): keterselesaian tunggal untuk setiap $g$ jika dan hanya jika $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ untuk setiap $n$ , yakni

\lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots).

Pada $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ yang kecualian: solusinya ada jika dan hanya jika $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$ , dan lalu tunggal sampai penambahan kelipatan sinus itu.

Latihan 15.10 ★★★

Misalkan $S$ pergeseran pada $\ell^2$ (Latihan 8.1). (a) Tunjukkan bahwa $S$ tak bernilai eigen, sedangkan setiap $\lambda$ dengan $\abs\lambda < 1$ merupakan nilai eigen $S^*$ (carilah vektor eigennya secara eksplisit, yakni barisan geometri). (b) Baik $S$ maupun $S^*$ tak kompak: periksalah lewat pengujian bergaya Latihan 15.2 pada $(e_n)$ . (c) Berkomentarlah: bahwa bagi operator yang tak swa-adjoin dan tak kompak, lanskap nilai eigennya dapat berupa apa saja dari kosong sampai sebuah cakram penuh — sedangkan gagasan yang bertahan adalah spektrumnya, yang dipelajari pada kuliah berikutnya.

Solusi

Solusi Latihan 15.10.

(a) $Sx = \lambda x$ : dengan membandingkan koordinatnya, $0 = \lambda x_1$ dan $x_n = \lambda x_{n+1}$ ; lalu jika $\lambda \ne 0$ maka $x_1 = 0$ dan secara induktif $x = 0$ ; sedangkan jika $\lambda = 0$ , $Sx = 0$ memaksa $x = 0$ (sebab $S$ isometrik). Jadi tak ada nilai eigen. Sedangkan $S^*x = \lambda x$ berbunyi $x_{n+1} = \lambda x_n$ : sehingga $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$ , yang berada di $\ell^2$ tepat bila $\abs\lambda < 1$ : yakni satu cakram terbuka penuh berisi nilai eigen. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$ : sehingga peta $(e_n)$ yang terbatas tak bersubbarisan Cauchy; dan demikian pula $S^*e_{n+1} = e_n$ . Jadi keduanya tak kompak. (c) Bagi operator swa-adjoin kompak, nilai eigennya menangkap segalanya (Teorema 15.7); sedangkan dengan membuang salah satu hipotesisnya, nilai eigennya dapat lenyap sama sekali ( $S$ , Volterra) atau memenuhi sebuah cakram ( $S^*$ ): sehingga objek yang tegar adalah spektrum $\{\lambda : T - \lambda I \text{ tak terbalikkan}\}$ , yang teorinya termasuk kuliah berikutnya.

Latihan 15.11 ★★

(Akar kuadrat) Misalkan $T$ kompak, swa-adjoin, dan positif (yakni $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ ) pada ruang Hilbert $H$ , dengan penguraian spektral $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ (dengan $\mu_n > 0$ ). (a) Definisikan $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$ ; lalu tunjukkan bahwa $S$ kompak, swa-adjoin, positif, dengan $S^2 = T$ . (b) Buktikan ketunggalannya: bahwa sembarang $R$ yang kompak, positif, dan swa-adjoin dengan $R^2 = T$ mengawetkan ruang eigen $T$ (sebab $RT = R^3 = TR$ : sehingga $R$ komutatif dengan $T$ , jadi $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$ ), dan pada $\ker(T - \mu)$ , $R$ merupakan operator positif yang berkuadrat $\mu\,\mathrm{id}$ pada ruang berdimensi berhingga: diagonalkanlah ia di sana lalu simpulkan $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ pada setiap ruang eigennya, sehingga $R = S$ . (c) Hitunglah $\sqrt G$ untuk operator dawai $G$ pada Soal 15.1: kernel mana yang bernilai eigen $\frac1{n\pi}$ pada basis sinusnya? (Nyatakanlah $\sqrt G$ sebagai limit- $L^2$ kernelnya; tanpa perlu bentuk tertutup.)

Solusi

Solusi Latihan 15.11.

(a) $S$ merupakan operator diagonal berkoefisien $\sqrt{\mu_n} \to 0$ : jadi kompak (Latihan 15.2(b), yang dipindahkan ke basis $(e_n)$ yang dilengkapkan oleh $\ker T$ , tempat $S = 0$ ), swa-adjoin (sebab diagonalnya real), positif (sebab $\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ ), dengan $S^2 = T$ suku demi suku.

(b) Operator $R$ komutatif dengan $T = R^2$ ; lalu untuk sebuah vektor eigen $x$ milik $T$ bernilai eigen $\mu$ : $T(Rx) = RTx = \mu Rx$ , sehingga ruang eigen berdimensi berhingga $E_\mu = \ker(T - \mu)$ bersifat stabil- $R$ . Pada $E_\mu$ , $R$ bersifat setangkup positif dengan $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ : sehingga nilai eigennya $\rho$ memenuhi $\rho^2 = \mu$ dengan $\rho \geq 0$ : jadi semuanya sama dengan $\sqrt\mu$ , dan operator terdiagonalkan yang bernilai eigen tunggal bersifat skalar: sehingga $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ pada $E_\mu$ . Sedangkan pada $\ker T$ : $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$ . Jadi $R$ bersesuaian dengan $S$ pada $\ker T$ dan pada setiap ruang eigennya, yang rentang tertutupnya adalah $H$ (menurut teorema spektralnya): sehingga $R = S$ .

k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi},

dengan deretnya konvergen di $L^2(\intcc01^2)$ (sebab koefisiennya $\frac1{n\pi} \in \ell^2$ ; dan kernel jumlah parsialnya memberikan hampiran rank berhingga). Jadi tak diperlukan bentuk tertutup dasar: sebab sisi spektralnya adalah operatornya.

Latihan 15.12 ★★★

(Penguraian nilai singular) Misalkan $T \in \mathcal L(H)$ kompak, yang tak harus swa-adjoin. (a) Tunjukkan bahwa $T^*T$ kompak, swa-adjoin, dan positif; lalu misalkan $(e_n)$ keluarga ortonormal berisi vektor eigen dengan $T^*Te_n = s_n^2e_n$ dan $s_n > 0$ (yakni nilai singularnya), yang dilengkapkan oleh $\ker(T^*T) = \ker T$ (buktikanlah kesamaan ini). (b) Tetapkan $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$ ; lalu tunjukkan bahwa $(f_n)$ ortonormal, dan tegakkanlah penguraian nilai singularnya:

Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H),

dengan kekonvergenan di $H$ . (c) Turunkan: bahwa $\vertiii T = \max_ns_n$ ; bahwa $T$ merupakan limit norma operator rank berhingga (yang membuktikan kembali konvers Proposisi 15.2 bagi ruang Hilbert); dan untuk operator Volterra $V$ pada Latihan 15.7, yang tak bernilai eigen, terangkanlah mengapa penguraian nilai singularnya tetap ada dan apa saja bahannya (kenalilah $V^*V$ sebagai operator kernel bertipe dawai — sedangkan menghitung nilai eigennya secara eksplisit adalah wilayah Latihan 15.9).

Solusi

Solusi Latihan 15.12.

(a) $T^*T$ bersifat kompak (sebab hasil kali operator terbatas dengan operator kompak, Latihan 15.3), swa-adjoin (sebab $(T^*T)^* = T^*T$ ), dan positif (sebab $\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$ ). Untuk kernelnya: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$ , dan sebaliknya: sehingga $\ker T^*T = \ker T$ . Lalu teorema spektralnya menyediakan $(e_n)$ yang ortonormal dengan $T^*Te_n = s_n^2e_n$ dan $s_n > 0$ , yang merentang $(\ker T)^\perp$ .

(b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$ . Lalu uraikan $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ dengan $x_0 \in \ker T$ (lewat Parseval pada rentang tertutupnya ditambah kernelnya); lalu dengan menerapkan $T$ yang kontinu:

Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n,

dengan deretnya konvergen sebab jumlah parsialnya Cauchy (karena $\norm{\sum_{N<n\leq M}s_n\langle e_n, x\rangle f_n}^2 = \sum s_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ , yang terdominasi oleh $\sup_{n>N}s_n^2\cdot\norm x^2$ , dan $s_n \to 0$ ).

(c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$ , yang tercapai pada $e_n$ pemberi maksimumnya: sehingga $\vertiii T = \max s_n$ . Lalu memancung penguraiannya pada rank $N$ menyisakan operator bernorma $\sup_{n>N}s_n \to 0$ : yakni hampiran rank berhingga. Sedangkan operator Volterra sama sekali tak bernilai eigen (Latihan 15.7), tetapi $V^*V$ demikian: sebab $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ merupakan operator kernel setangkup positif (berkernel $1 - \max(x,y)$ , yakni kernel Green bertipe dawai), yang pasangan eigennya — yang dihitung lewat soal nilai batas $-u'' = \lambda^{-1}u$ dengan $u'(0) = u(1) = 0$ , yakni keluarga Latihan 15.9 — memberikan nilai singular $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$ . Jadi penguraian nilai singularnya hidup pada dua keluarga ortonormal justru karena $V$ memutar geometri eigennya menjauh: sehingga tanpa vektor eigen, namun berstruktur diagonal sempurna antara dua basis yang berbeda.

15.5 Soal: dawai yang bergetar dan $\zeta(2)$

Soal 15.1

Soal akhir pekan — operator Green, basis sinus, dan sebuah rumus trace

Kita menyelesaikan soal nilai eigen dawai yang bergetar dengan ujung tetap — yakni $-u'' = \nu u$ , $u(0) = u(1) = 0$ — lewat teori operator, memperoleh basis ortonormal sinusnya tanpa perhitungan Fourier apa pun, lalu menilaikan $\zeta(2)$ dengan membandingkan dua ungkapan bagi trace operator Greennya. Definisikan, pada $L^2(\intcc01)$ ,

(Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr).

Bagian I — Operator Greennya.

Tunjukkan bahwa $g$ kontinu, setangkup, dengan $0 \leq g \leq \frac14$ , dan bahwa $G$ bersifat kompak dan swa-adjoin (Contoh 15.3(c)).
Untuk $f$ yang kontinu, tunjukkan bahwa $u = Gf$ bersifat $\mathcal C^2$ dengan

$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$

(tulislah $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ lalu turunkan dua kali). Sebaliknya, jika $u \in \mathcal C^2$ dengan $u(0) = u(1) = 0$ , maka $G(-u'') = u$ : sehingga $G$ membalikkan operator dawainya.
Tunjukkan $\ker G = \{0\}$ (sebab jika $Gf = 0$ dengan $f \in L^2$ : ujilah terhadap $\varphi$ yang kontinu, pindahkan $G$ lewat kesetangkupan/Fubini ke $\varphi$ , lalu pakailah lema fundamental Akibat 12.11 — atau regularkanlah), dan bahwa $G$ merupakan operator positif: yakni $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . (Untuk $f$ yang kontinu: $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ dengan $u = Gf$ , lewat pengintegralan parsial; lalu simpulkan lewat kepadatannya.)

Bagian II — Pendiagonalannya: basis sinusnya.

Tunjukkan bahwa fungsi eigen $G$ bernilai eigen $\lambda \ne 0$ merupakan, sampai skalarnya, solusi $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ (sebab sebuah fungsi eigen mempunyai wakil yang kontinu — karena $Gf$ kontinu untuk $f \in L^2$ , mengapa? — sehingga ia $\mathcal C^2$ lewat pengangkatan pertanyaan 2).
Selesaikan soal nilai batasnya: bahwa nilai eigen $G$ adalah $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ (dengan $n \geq 1$ ), dengan fungsi eigen ternormalkan $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; lalu periksalah keortonormalannya lewat pengintegralan langsung sebagai uji kewarasan.
Simpulkan dari Teorema 15.7 dan pertanyaan 3 bahwa $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ merupakan basis ortonormal $L^2(\intcc01)$ — tanpa Stone–Weierstrass dan tanpa deret Fourier. Lalu uraikan $f(x) = x(1-x)$ pada basis ini dan tuliskan Parseval baginya.

Bagian III — Rumus tracenya dan $\zeta(2)$ .

Buktikan kedua identitas

$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{dan}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$

Untuk yang kedua (yakni rumus tracenya): uraikan $g(x, \cdot)$ , untuk $x$ yang tetap, pada basis $(e_n)$ — lalu tunjukkan bahwa koefisiennya adalah $\lambda_ne_n(x)$ , sehingga $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ di $L^2$ . Di sini sinusnya eksplisit: periksalah secara langsung bahwa $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ konvergen secara seragam pada bujur sangkarnya (bandingkan dengan $\sum \frac2{n^2\pi^2}$ ), sehingga jumlahnya kontinu dan, karena beruraian- $L^2$ sama pada $y$ untuk setiap $x$ , sama dengan $g(x,y)$ di mana-mana. Lalu tetapkan $y = x$ dan integralkan suku demi suku.
Hitunglah $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$ , lalu simpulkan

$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{yakni}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$

yakni jumlah Euler dari sebuah trace operator.
Turunkanlah $\zeta(2)$ dengan cara ketiga: terapkan Parseval pada basis sinusnya untuk fungsi konstan $\mathbf 1$ , hitunglah $\sum_{n \text{ gasal}}\frac1{n^2}$ , lalu simpulkan. Lalu bandingkan mekanismenya: dalam arti apakah argumen trace pertanyaan 7–8 merupakan “Parseval yang diterapkan pada seluruh kernelnya sekaligus”?

Bagian IV — Dawainya bergetar.

(Pemisahan variabel, yang disintesiskan) Untuk $f \in L^2$ , definisikan

$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$

Tunjukkan bahwa deretnya konvergen di $L^2(\intcc01)$ untuk setiap $t$ , bahwa $t\mapsto u(t, \cdot)$ kontinu ke dalam $L^2$ , dan bahwa untuk $f$ pada rentang berhingga banyak $e_n$ ia menyelesaikan persamaan gelombang $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ dengan $u(0) = f$ , $\partial_tu(0) = 0$ , dan ujung yang tetap. Nilai eigennya $n^2\pi^2$ adalah kuadrat frekuensinya: yakni harmonik dawainya — lalu terangkanlah tafsiran musik Teorema 15.7 dalam satu paragraf.

Bagian V — Buah hasil variasinya: metode pangkat, kestabilan Weyl, dan sebuah batas ketat bagi $\pi$ . Misalkan $A$ operator swa-adjoin kompak yang positif dengan nilai eigen $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ dan vektor eigen ortonormal $(u_n)$ ; lalu $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$ . Rumus min–maksnya adalah Latihan 15.8; dan di sini kita membelanjakannya.

(Metode pangkat) Untuk $x \neq 0$ tulislah $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ . Tunjukkan $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (lewat Cauchy–Schwarz), lalu turunkan rantainya

$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$

lalu buktikan bahwa jika $\langle u_1, x\rangle \neq 0$ , maka $R(A^kx) \to \mu_1$ : sehingga mengiterasikan operatornya pada sembarang vektor generik menghitung nilai eigen puncaknya — yakni metode pangkat analisis numerik, yang tersahihkan.
(Kestabilan Weyl) Untuk $A, B$ yang swa-adjoin kompak dan positif, turunkan dari Latihan 15.8 bahwa

$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{untuk setiap } n :$

sehingga seluruh spektrumnya bersifat Lipschitz- $1$ dalam norma operatornya — jadi nilai eigen sistem setangkup yang besar dapat dihitung dari hampirannya dengan galat yang terjamin.
Terapkan batas Rayleigh pada $G$ dengan fungsi uji $u(x) = x(1-x)$ : selesaikanlah $-w'' = u$ dengan $w(0) = w(1) = 0$ untuk memperoleh $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$ , lalu hitunglah

$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$

lalu simpulkan batas ketatnya $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , yakni $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$ .
Satu langkah rantai pertanyaan 11, pada fungsi uji yang sama: dengan memakai $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$ , hitunglah

$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$

lalu simpulkan $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$ : yakni dua integral, empat angka yang benar. (Setiap iterasi berikutnya kira-kira mengkuadratkan ketelitiannya: sebab jurang vektor eigennya $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ menggerakkan kekonvergenan geometrinya.)

Bagian VI — Jejak $G^2$ , dan $\zeta(4)$ .

Tunjukkan bahwa $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ (uraikan $g$ pada basis hasil kalinya $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ dari $L^2(\intcc01^2)$ — yakni sebuah basis Hilbert, bandingkan Latihan 15.5 — lalu terapkan Parseval pada bujur sangkarnya; sedangkan pertanyaan 7 mengenali koefisiennya).
Hitunglah integral rangkapnya:

$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$
Simpulkan $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; lalu terangkan, tanpa perhitungan, bagaimana trace pangkat yang lebih tinggi $G^k$ menghasilkan $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ untuk setiap $k \geq 1$ , dan mengapa nilai gasalnya $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ secara struktural berada di luar jangkauan mesin ini.
( $\pi$ dari bawah) Dari $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ turunkan $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$ , lalu rakitlah bersama pertanyaan 14 putusan dua sisinya

$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$

yang diperoleh sepenuhnya dari aritmetika dawai yang bergetar. Sisi mana yang konvergen lebih cepat bila orang memakai trace yang lebih tinggi $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$ , dan mengapa?

Bagian VII — Penggerakan dan resonansi. Tetapkan $\nu \in \R$ lalu tinjaulah dawai yang digerakkan $-u'' - \nu u = f$ , $u(0) = u(1) = 0$ , dengan $f \in L^2$ dan $c_n = \langle e_n, f\rangle$ .

Andaikan $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$ . Tunjukkan bahwa

$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$

konvergen di $L^2$ dan secara seragam pada $\intcc01$ (lewat Cauchy–Schwarz antara $(c_n)$ dan ekor $\sum n^{-4}$ , dengan $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$ ), dan bahwa ia memenuhi $u = Gf + \nu Gu$ — yakni bentuk berkoordinat eksplisit alternatif Fredholm (Teorema 15.8), beserta ketunggalannya.
Andaikan $\nu = m^2\pi^2$ . Tunjukkan bahwa $u = Gf + \nu Gu$ bersolusi jika dan hanya jika $c_m = 0$ , dan tunggal sampai penambahan kelipatan $e_m$ . Bacaan fisikanya: yakni mendorong ayunan tepat pada frekuensinya sendiri.
Untuk $\nu < \pi^2$ , tunjukkan bahwa operator solusinya $R_\nu\colon f \mapsto u$ terbatas pada $L^2$ dengan norma $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , kompak, swa-adjoin, dan positif: sehingga seluruh analisis spektralnya berulang, tergeser sejauh $\nu$ .
(Sintesis) Susunlah kamus soal ini: nilai eigen $\leftrightarrow$ kuadrat frekuensi (harmonik); trace $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; norma Hilbert–Schmidt $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; alternatif Fredholm $\leftrightarrow$ resonansi; min–maks $\leftrightarrow$ batas variasi (dengan $\pi < 3.1437$ dari satu polinomial). Yakni satu operator integral, lima bab analisis yang diuangkan.

Bagian VIII — Tiga gema terakhir.

( $\zeta(6)$ , secara cuma-cuma) Identitas Parseval pertanyaan 6 memberikan $\sum_{n\text{ gasal}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ . Pisahkan $\zeta(6)$ menurut $n$ yang gasal dan genap lalu simpulkan

$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$

tanpa integral baru: sebab mesin pertanyaan 17 (yakni trace $G^3$ ) akan menghasilkan nilai yang sama dengan biaya sebuah kernel teriterasi — jadi Parseval pada satu fungsi yang terpilih baik adalah jalur yang lebih murah di sini.
(Keadaan dasarnya positif) Misalkan $A$ operator swa-adjoin kompak positif pada $L^2(\intcc01)$ yang diberikan oleh kernel setangkup kontinu $k > 0$ pada $\intoo01^2$ , bernilai eigen terbesar $\mu_1$ . Tunjukkan bahwa: (a) sembarang pemberi maksimum hasil bagi Rayleighnya merupakan fungsi eigen- $\mu_1$ ; (b) jika $u$ salah satunya, maka $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , dengan ketaksamaan sejati jika $u$ bertanda dua-duanya pada himpunan berukuran positif — sehingga $u$ bertanda tetap hampir di mana-mana, dan $u = \mu_1^{-1}Au$ tak pernah lenyap pada $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ merupakan nilai eigen yang sederhana. Lalu periksalah setiap klaimnya pada $G$ : sebab $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , dan setiap $e_n$ dengan $n \geq 2$ , karena ortogonal terhadap $e_1$ , haruslah berganti tanda (dan memang: sebab ia berakar $n - 1$ kali di interiornya).
(Jarak ke spektrumnya, dan harga resonansinya) Untuk $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$ , tunjukkan bahwa operator solusi $R_\nu$ pada pertanyaan 19 bersifat terbatas, swa-adjoin, kompak, dengan

$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$

dengan normanya tercapai pada ragam yang terdekat. Lalu ukurlah ayunan pertanyaan 20: sebab menggerakkannya dengan $f = e_1$ pada $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ menghasilkan $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$ , yakni penguatan sebesar $\frac1\varepsilon$ atas tanggapan statisnya $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — sehingga pada satu persen di bawah nada dasarnya (yakni $\varepsilon = 10^{-2}$ ), dawainya menjawab seratus kali lebih keras.

Solusi

Solusi Soal 15.1.

1. Kekontinuannya: sebab $\min$ dan $\max$ kontinu; kesetangkupannya: sebab menukar $x, y$ tak menukar $\min(x,y)$ maupun $1 - \max(x,y)$ . Batasnya: $0 \leq g$ , dan batas bertipe $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ memberikan $g \leq \frac14$ (sebab untuk $u = \max$ : $\min \leq u$ sehingga $g \leq u(1-u) \leq \frac14$ ). Lalu $g \in L^2(\square)$ : jadi Hilbert–Schmidt, sehingga $G$ kompak (Latihan 15.4); dan kernelnya real setangkup: sehingga $G$ swa-adjoin.

2. Dengan memisahkannya di $y = x$ :

u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y .

Untuk $f$ yang kontinu, turunkanlah (lewat aturan hasil kali dan teorema fundamentalnya):

u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(sebab suku batasnya saling meniadakan)},

dan $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$ ; sedangkan jelaslah $u(0) = u(1) = 0$ . Sebaliknya jika $u \in \mathcal C^2$ lenyap di kedua ujungnya, maka $w = u - G(-u'')$ memenuhi $w'' = 0$ dengan $w(0) = w(1) = 0$ : sehingga $w$ afin dan lenyap dua kali, jadi $w = 0$ .

3. Misalkan $Gf = 0$ dengan $f \in L^2$ . Untuk $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$ : $\psi = G(-\psi'')$ menurut pertanyaan 2, sehingga

\langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0

(sebab $G$ swa-adjoin): sehingga menurut lema fundamentalnya (Akibat 12.11), $f = 0$ hampir di mana-mana. Untuk kepositifannya: bagi $f$ yang kontinu, dengan $u = Gf$ ,

\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ;

sedangkan untuk $f \in L^2$ , hampirilah di $L^2$ oleh $f_n$ yang kontinu: maka kedua ruasnya beralih ke limitnya (sebab $G$ terbatas).

4. Jika $Gu = \lambda u$ dengan $\lambda \neq 0$ : maka $Gu$ kontinu (sebab $\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$ , dan kernelnya kontinu seragam), sehingga $u$ mempunyai wakil yang kontinu; lalu rumus pertanyaan 2 menunjukkan $Gu \in \mathcal C^2$ , sehingga $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ dengan $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ dan $u(0) = u(1) = 0$ .

5. Dari $-\lambda u'' = u$ dengan $u(0) = 0$ : $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ (dengan $\lambda$ yang positif: sebab menurut pertanyaan 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ pada vektor eigennya). Lalu $u(1) = 0$ memaksa $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ : sehingga $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ , dengan fungsi eigen $\sin(n\pi x)$ , yang ternormalkan $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ (sebab $\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$ ). Untuk pemeriksaan keortogonalannya: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ berintegral $0$ untuk $m \neq n$ .

6. Karena $\ker G = \{0\}$ (pertanyaan 3), maka Teorema 15.7(1) memberikan $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ : sehingga sinusnya merupakan basis Hilbert $L^2(\intcc01)$ . Untuk $f(x) = x(1 - x)$ :

c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ gasal},\\ 0 & n \text{ genap},\end{cases}

(lewat dua kali pengintegralan parsial). Lalu Parseval: $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ gasal}}\frac{32}{n^6\pi^6}$ , yakni $\sum_{n\text{ gasal}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ .

7. Berlaku $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$ . Untuk $x$ yang tetap, koefisien $g(x, \cdot)$ : $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$ , sehingga $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ di $L^2$ . Sedangkan deret eksplisitnya $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ konvergen secara normal pada bujur sangkarnya (sebab $\abs{\text{sukunya}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$ ): sehingga jumlahnya kontinu, dan untuk setiap $x$ ia berkoefisien $L^2(\dd y)$ sama dengan $g(x, \cdot)$ : jadi kedua fungsi kontinunya bersesuaian untuk setiap $(x, y)$ . Lalu dengan menetapkan $y = x$ dan mengintegralkannya (sebab kekonvergenan normalnya mengizinkan pengintegralan yang suku demi suku):

\int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n .

8. Berlaku $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$ , sehingga $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$ :

\zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

9. Untuk $f = \mathbf 1$ : $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$ : sehingga $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ untuk $n$ yang gasal, dan $0$ untuk yang genap. Lalu Parseval: $1 = \sum_{n\text{ gasal}}\frac{8}{n^2\pi^2}$ , sehingga $\sum_{n\text{ gasal}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$ , dan $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (sebab suku genapnya adalah $\frac14\zeta(2)$ ). Perbandingannya: Parseval untuk satu $f$ menjumlahkan $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$ ; sedangkan rumus tracenya mengintegralkan diagonal kernelnya, yang setara dengan menjumlahkan Parseval atas seluruh keluarga ortonormalnya sekaligus — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — sehingga ia buta terhadap pilihan fungsi uji tertentu mana pun.

10. Berlaku $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ dengan $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$ : sehingga untuk setiap $t$ deretnya konvergen di $L^2$ (lewat uraian ortonormalnya, Teorema 13.7(3)); sedangkan batas ekornya $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ bersifat seragam terhadap $t$ , dan setiap jumlah parsialnya kontinu terhadap $t$ (sebab berupa berhingga banyak kosinus): jadi $t \mapsto u(t,\cdot)$ kontinu ke dalam $L^2$ . Untuk $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ : setiap ragamnya $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ memenuhi $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ yang diterapkan padanya, lenyap di $x = 0, 1$ , bernilai $\sin(n\pi x)$ dan berturunan waktu $0$ di $t = 0$ : sehingga jumlah berhingganya menyelesaikan segalanya. Secara musik: gerak dawainya merupakan tumpangan gelombang tegak $e_n$ , yang frekuensinya $n\pi$ adalah nada dasar dan nada atasnya; sedangkan teorema spektralnya mengatakan bahwa setiap bentuk awal terurai secara tunggal menjadi nada murni ini, dengan koefisien $c_n$ sebagai warna suaranya. Jadi mendengar dawai adalah menghitung uraian ortonormal.

11. Dengan $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ : $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (lewat Cauchy–Schwarz di $\ell^2$ ). Karena itu nisbah $m_{p+1}/m_p$ bersifat tak turun terhadap $p$ ; lalu karena $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$ , $\frac{\langle Ax, Ax\rangle} {\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ dan $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$ , rantainya menyusul, dengan setiap sukunya $\leq \mu_1$ sebab $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ suku demi suku. Untuk kekonvergenannya: jika $a_1 > 0$ (dengan menulis bobot total nilai eigen puncaknya sebagai $a_1$ ), maka

\mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1,

lewat kekonvergenan terdominasi jumlahnya (sebab nisbahnya $< 1$ ): sehingga metode pangkatnya konvergen untuk setiap vektor awal yang tak ortogonal terhadap ruang eigen puncaknya.

12. Secara titik demi titik, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$ , sehingga $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ untuk setiap $x$ . Lalu memasukkan ini ke rumus maks–min Latihan 15.8: $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$ , dan secara setangkup pada $A, B$ : sehingga $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ untuk setiap $n$ sekaligus.

13. Persamaan $-w'' = x - x^2$ terintegralkan menjadi $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (dengan $w(0) = 0$ ), dan $w(1) = 0$ memberikan $c = \frac1{12}$ :

w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu .

Lalu $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$ , dan dengan $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$ :

\langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} .

Jadi $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , yakni $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$ : sehingga $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (dengan nilai sejatinya $\pi^2 = 9.8696$ ). Yakni sebuah polinomial, sebuah integral, sebuah angka.

14. Tulis $u = x - x^2$ , sehingga $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ dan, dengan memakai $\int u^2 = \frac1{30}$ , $\int u^3 = \frac1{140}$ , dan $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$ :

\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} .

Karena itu $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$ , dan menurut pertanyaan 11 ini tetap $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$ : sehingga $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$ , yakni $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — yakni empat angka (dan iterasi berikutnya akan memberikan sekitar delapan, sebab galatnya mengerut sebesar $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ setiap langkah).

15. Keluarga $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ merupakan basis Hilbert $L^2(\intcc01^2)$ (dengan keortonormalannya lewat Tonelli; dan ketotalannya seperti pada Latihan 15.5). Menurut pertanyaan 7, untuk $x$ yang tetap: $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$ , sehingga koefisien $g$ pada $e_m\otimes e_n$ adalah

\langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} .

Lalu Parseval pada bujur sangkarnya:

\iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 .

16. Menurut kesetangkupan $g$ ,

\iint g^2 = 2\iint_{y<x}y^2(1-x)^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\,\frac{x^3}3\,\dd x = \frac23\,B(4, 3) = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!} = \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90} .

17. Digabungkan: $\sum_n\frac1{n^4\pi^4} = \frac1{90}$ , yakni $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ . Secara umum, $\operatorname{tr}(G^k) = \sum\lambda_n^k = \frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ sama dengan sebuah integral teriterasi atas hasil kali kernel polinomial rasional $g$ pada kubus- $k$ : yakni sebuah bilangan rasional. Karena itu $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\Q$ untuk setiap $k$ . Mesinnya hanya mencapai argumen genap sebab nilai eigennya masuk lewat pangkatnya — yakni $\sum\lambda_n^k$ — dan $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ : sehingga tak ada gabungan trace yang menghasilkan $\sum n^{-3}$ ; sedangkan sifat aritmetika $\zeta(3)$ (yang irasional menurut Apéry, dengan ketranssendenannya masih terbuka) terletak di luar pembukuan spektralnya.

18. Suku puncak sebuah jumlah bersuku positif bernilai paling banyak jumlahnya: $\lambda_1^2 \leq \sum\lambda_n^2 = \frac1{90}$ , sehingga $\frac1{\pi^2} \leq \frac1{\sqrt{90}}$ dan $\pi \geq 90^{1/4} = 3.0801\ldots$ Bersama pertanyaan 14: $3.080 < \pi < 3.1419$ , lewat aritmetika dawai belaka. Sedangkan trace yang lebih tinggi menajamkan batas bawahnya secara geometri: $\lambda_1 \leq (\operatorname{tr}G^{2k})^{1/2k} = \lambda_1\bigl(1 + \sum_{n\geq2}(\lambda_n/\lambda_1)^{2k} \bigr)^{1/2k}$ , dan faktor parasitnya mati secepat $\bigl(\tfrac14\bigr)^{2k}\cdot\frac1{2k}$ — yakni mekanisme jurang spektral yang sama seperti kekonvergenan metode pangkat (pertanyaan 11), yang dilihat dari sisi tracenya.

19. Berlaku $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \delta > 0$ untuk setiap $n$ (sebab barisan $n^2\pi^2 \to \infty$ menghindari $\nu$ dengan sebuah selisih), dan $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ untuk $n$ yang besar. Untuk kekonvergenan $L^2$ -nya: koefisiennya $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ terjumlahkan kuadrat (sebab terdominasi oleh $\frac{\abs{c_n}}\delta$ ). Untuk kekonvergenan seragamnya: norma sup ekornya terbatas oleh $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (lewat Cauchy–Schwarz). Untuk pemeriksaannya: $Gf + \nu Gu$ berkoefisien- $e_n$

\lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} :

yakni tepat koefisien $u$ , sehingga $u = Gf + \nu Gu$ ; sedangkan ketunggalannya sebab selisih $v$ dua solusinya memenuhi $v = \nu Gv$ , yakni $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ untuk setiap $n$ : jadi $v = 0$ .

20. Seperti pada pertanyaan 19, persamaan $u = Gf + \nu Gu$ setara dengan keluarga persamaan koefisiennya $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$ dengan $n \geq 1$ . Untuk $n = m$ ruas kirinya adalah $0$ : sehingga keterselesaiannya memaksa $c_m = 0$ , dan lalu $\langle e_m, u\rangle$ bebas sedangkan semua koefisien lainnya tertentukan: jadi solusinya membentuk garis $u_0 + \R e_m$ . Untuk resonansinya: sebuah penggerak yang berkomponen pada ragam eigennya memompakan energi ke dalamnya tanpa batas — yakni ayunan yang didorong pada frekuensinya sendiri.

21. Dari rumus pertanyaan 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (sebab untuk $\nu < \pi^2$ nilai eigen terdekatnya adalah $\pi^2$ ), dengan kesamaannya didekati pada $f = e_1$ : sehingga norma operatornya $\frac1{\pi^2 - \nu}$ . Untuk kekompakannya: $R_\nu$ merupakan limit norma pancungan rank berhingganya (sebab koefisien ekornya $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$ ); sedangkan keswa-adjoinan dan kepositifannya terbaca dari bentuk diagonalnya (sebab semua koefisiennya $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$ ). Jadi $R_\nu$ bernilai eigen $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$ : sehingga analisis Bagian I–VI berulang kata demi kata.

22. Kamusnya: nilai eigen $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ kuadrat frekuensi $n^2\pi^2$ harmonik ke- $n$ ; trace $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ; norma Hilbert–Schmidt $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; alternatif Fredholm $\leftrightarrow$ resonansi dawai yang digerakkan; min–maks $\leftrightarrow$ taksiran variasi, sampai $\pi < 3.1437$ dari satu polinomial. Di balik setiap pasangannya, objek yang sama: yakni satu operator swa-adjoin kompak, yang didiagonalkan sekali lalu dieksploitasi lima cara.

23. Dengan memisahkannya menurut paritas lalu menyubstitusikan $n = 2m$ pada bagian genapnya,

\zeta(6) = \sum_{n\text{ gasal}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64},

sehingga $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ dan $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$ . Sedangkan jalur tracenya akan menghitung $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ sebagai $\iint g\,g_2$ dengan kernel teriterasi $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — yakni tiga pengintegralan polinomial sepenggal-sepenggal; padahal Parseval pada $x(1-x)$ hanya memerlukan satu.

24. (a) Diagonalkanlah: $v = \sum_na_nu_n$ (ditambah sebuah komponen kernel yang mungkin, yang $\langle v, Av\rangle$ -nya tak memperoleh apa pun sedangkan $\norm v^2$ -nya tumbuh, sehingga pemberi maksimumnya tak memilikinya). Maka $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$ , dengan kesamaannya jika dan hanya jika $a_n = 0$ setiap kali $\mu_n < \mu_1$ : sehingga pemberi maksimumnya terletak di ruang eigen- $\mu_1$ . (b) Untuk sembarang $u$ ,

\langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0,

sebab integrannya tak negatif di setiap titiknya. Jika $P = \{u > 0\}$ dan $N = \{u < 0\}$ keduanya berukuran positif, maka pada $P\times N$ integrannya sama dengan $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ pada himpunan berukuran positif: sehingga ketaksamaannya sejati. Sedangkan sebuah fungsi eigen- $\mu_1$ $u$ memaksimumkan hasil bagi Rayleighnya, dan $\abs u$ bernorma sama, sehingga kesejatiannya akan menampilkan $R(\abs u) > \mu_1$ — yang mustahil; jadi $u$ bertanda tetap hampir di mana-mana, katakanlah $u \geq 0$ . Lalu $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ untuk setiap $x \in \intoo01$ (sebab $k(x,\cdot) > 0$ dan $u \neq 0$ ). (c) Jika ruang eigennya berdimensi $\geq 2$ , ia akan memuat dua fungsi eigen yang ortogonal $u, v$ , yang masing-masing bertanda tetap dan tak lenyap di interiornya menurut (b); tetapi lalu $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — yang bertentangan. Pada dawainya: $k = g > 0$ pada bujur sangkar terbukanya, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ memang sederhana, dan $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ positif pada $\intoo01$ ; sedangkan setiap $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ dengan $n \geq 2$ , yang ortogonal terhadap $e_1$ yang positif, haruslah berintegral nol terhadapnya, sehingga berganti tanda — seperti dibenarkan $n - 1$ akar interiornya $\frac kn$ .

25. Karena $n^2\pi^2 \to \infty$ , minimumnya $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ tercapai, pada suatu ragam $m$ , dan $d > 0$ sebab $\nu$ menghindari spektrumnya. Lalu rumus diagonal pertanyaan 19 memberikan

\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2,

dengan kesamaannya untuk $f = e_m$ : sehingga $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$ , yakni kebalikan jarak dari $\nu$ ke spektrumnya — yaitu asas resolven umumnya, di sini dalam koordinat yang eksplisit. Keswa-adjoinannya terbaca dari koefisien diagonalnya yang real; sedangkan kekompakannya menyusul seperti pada pertanyaan 21 (sebab koefisiennya menuju $0$ , sehingga pancungan rank berhingganya konvergen dalam norma). Untuk harga resonansinya: bagi $f = e_1$ dan $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$ , rumusnya memberikan $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$ , terhadap tanggapan statisnya $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ : yakni penguatan sebesar $\frac1\varepsilon$ . Pada $\varepsilon = 10^{-2}$ tanggapannya $100$ kali tanggapan statisnya — dan ia divergen saat $\varepsilon \to 0$ , yang merupakan alternatif pertanyaan 20 yang dilihat dari sisi terbatasnya: sehingga makin dekat frekuensi penggeraknya ke frekuensi alaminya, makin tak terbatas balikannya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium

15.1 Operator kompak

15.2 Operator swa-adjoin

15.3 Teorema spektralnya

15.4 Latihan

15.5 Soal: dawai yang bergetar dan ζ(2)\zeta(2)ζ(2)

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

15.5 Soal: dawai yang bergetar dan $\zeta(2)$