स्वसंलग्न संकारक क्या है? — गणित

परिभाषा 15.4 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 15 — संहत संकारक और स्पेक्ट्रमी प्रमेय

$T \in \mathcal L(H)$ स्वसंलग्न कहलाता है यदि $T = T^*$ (अभ्यास 13.8), अर्थात् सभी $x, y$ के लिए $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ । तब प्रत्येक $x$ के लिए $\langle x, Tx\rangle \in \R$ (वह अपने ही संयुग्म के बराबर है)।

उदाहरण

उदाहरण 15.9

$L^2(\intcc01)$ पर मान लीजिए $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : यह वास्तविक सममित नाभिक वाला हिल्बर्ट–श्मिट संकारक है: अतः संहत और स्वसंलग्न। $Tf = \lambda f$ हल करना: संबंध $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ दिखाता है कि $u = Tf$ $u'' = -f$ को संतुष्ट करता है (दो बार अवकलन, जो संतत $f$ के लिए वैध है, और $f \in L^2$ के लिए $Tf$ संतत है: प्रभावी अभिसरण), जिसमें $u(0) = 0$ और $u'(1) = 0$ । अतः अभिलक्षणिक फलन $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ को हल करते हैं:

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

और स्पेक्ट्रमी प्रमेय कहती है — बिना किसी फूरिये सिद्धांत के — कि मानकीकरण के बाद ये ज्या $L^2(\intcc01)$ का प्रसामान्य लांबिक आधार बनाते हैं ( $T$ की अष्टि $0$ है: $Tf = 0$ से दो अवकलनों द्वारा लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य हो जाता है)। सप्ताहांत समस्या कंपमान डोरी के लिए इसी विचार-मंडल को चलाती है और अनुरेख से $\zeta(2)$ निकाल लेती है।

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