Apa itu operator kompak? — Matematika

Definisi 15.1 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 15 — Operator Kompak dan Teorema Spektral

Sebuah $T \in \mathcal L(E, F)$ (dengan $E, F$ Banach) disebut kompak jika peta $T(B)$ atas bola satuannya bersifat kompak relatif di $F$ — setara dengan itu, setiap barisan terbatas $(x_n)$ mempunyai subbarisan yang $(Tx_{n_k})$ -nya konvergen. Operator rank berhingga bersifat kompak (sebab himpunan terbatas dalam dimensi berhingga); sedangkan identitas ruang berdimensi tak berhingga tak pernah demikian (menurut teorema Riesz, Tahun ke-2).

Contoh

Contoh 15.3

(a) Operator diagonal pada $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ bersifat kompak jika dan hanya jika $\lambda_n \to 0$ (Latihan 15.2). (b) Operator kernel pada $\mathcal C(\intcc01)$ : kompak menurut Ascoli (Latihan 7.7). (c) Operator Hilbert–Schmidt: untuk $k \in L^2(\intcc01^2)$ ,

(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y

mendefinisikan operator kompak pada $L^2(\intcc01)$ dengan $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Latihan 15.4: sebab memancung uraian basis $k$ menampilkan $T_k$ sebagai limit operator rank berhingga).

Contoh 15.9

Pada $L^2(\intcc01)$ , misalkan $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : yakni operator Hilbert–Schmidt berkernel setangkup real: jadi kompak dan swa-adjoin. Untuk menyelesaikan $Tf = \lambda f$ : hubungan $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ menunjukkan bahwa $u = Tf$ memenuhi $u'' = -f$ (lewat dua penurunan, yang sah untuk $f$ yang kontinu, dan $Tf$ bersifat kontinu untuk $f \in L^2$ : lewat kekonvergenan terdominasi), dengan $u(0) = 0$ dan $u'(1) = 0$ . Jadi fungsi eigennya menyelesaikan $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ :

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

dan teorema spektralnya menyatakan — tanpa teori Fourier apa pun — bahwa sinus ini membentuk basis ortonormal $L^2(\intcc01)$ setelah dinormalkan (sebab kernel $T$ adalah $0$ : karena $Tf = 0$ memaksa, lewat kedua penurunannya, $f = 0$ hampir di mana-mana). Sedangkan soal akhir pekannya menjalankan lingkaran gagasan yang sama untuk dawai yang bergetar lalu memetik $\zeta(2)$ dari tracenya.

Baca dalam konteks →