Apa itu Pemulus? — Matematika

Definisi 12.8 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 12 — Ruang Lp

Fungsi

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

dengan $c$ yang menormalkan $\int\rho = 1$ , bersifat $\mathcal C^\infty$ pada $\R^d$ : sebab intinya adalah bahwa $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ bersifat $\mathcal C^\infty$ pada $\R$ , dengan semua turunannya di $0^+$ bernilai $0$ (sebab setiap turunannya berbentuk $P(1/t)\eu^{-1/t}$ untuk sebuah polinomial $P$ , yang menuju $0$ ; lewat induksi). Untuk $\varepsilon > 0$ tetapkan $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : yang berpendukung di $\bar B(0, \varepsilon)$ , dan tetap berintegral $1$ .

Contoh

Contoh 12.10 (Memuluskan $\abs x$ , beserta lajunya)

Ambillah $f(x) = \abs x$ pada $\R$ (yang $L^1$ secara lokal; sehingga teoremanya berlaku pada setiap jendela terbatas) dan sebuah pemulus setangkup $\rho_\varepsilon$ . Maka

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

bersifat $\mathcal C^\infty$ ; sedangkan jauh dari tekukannya, tak terjadi apa-apa: sebab untuk $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ linear terhadap $x$ pada pendukung $\rho_\varepsilon$ , sehingga $f_\varepsilon(x) = \abs x$ secara persis (sebab kesetangkupannya membunuh koreksinya). Di dekat $0$ , pemulusannya berbiaya tepat

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

sehingga galat penghampirannya terkurung di persekitaran- $\varepsilon$ kesingularannya dan seukuran dengannya. Sementara itu $f_\varepsilon'' \geq 0$ di mana-mana (sebab $f$ cembung, dan konvolusi terhadap $\rho_\varepsilon \geq 0$ mengawetkan kecembungan), dengan $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : jadi turunan keduanya berupa gundukan bermassa $2$ yang terjepit ke dalam lebar $O(\varepsilon)$ , sehingga $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Jadi pemulusan adalah tukar tambah: galat seragam $O(\varepsilon)$ ditukar dengan peledakan turunan $O(\varepsilon^{-1})$ — yakni kurs tukar persis yang diformalkan analisis kuantitatif (lewat ketaksamaan interpolasi, yakni lingkaran gagasan Soal 12.1).

Baca dalam konteks →