ما معنى المليِّفات؟ — الرياضيات

تعريف 12.8 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 12 — فضاءات Lp

الدالة

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

حيث يعيِّر $c$ الشرط $\int\rho = 1$ ، هي $\mathcal C^\infty$ على $\R^d$ : إذ المهم أن $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ دالة $\mathcal C^\infty$ على $\R$ ، وأن جميع مشتقاتها عند $0^+$ معدومة (فكل مشتقة من الشكل $P(1/t)\eu^{-1/t}$ من أجل كثير حدود $P$ ، وهو يؤول إلى $0$ ؛ بالتراجع). ومن أجل $\varepsilon > 0$ نضع $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : فحاملها في $\bar B(0, \varepsilon)$ ، وتكاملها لا يزال $1$ .

أمثلة

مثال 12.10 (تمليف $\abs x$ ، مع المعدلات)

لنأخذ $f(x) = \abs x$ على $\R$ (وهي في $L^1$ محليًّا؛ فتنطبق المبرهنة على كل نافذة محدودة) ومليِّفًا متناظرًا $\rho_\varepsilon$ . عندئذٍ

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

تكون $\mathcal C^\infty$ ؛ وبعيدًا عن الانكسار لا يحدث شيء: فمن أجل $\abs x \geq \varepsilon$ ، يكون $\abs{x - y}$ خطيًّا في $x$ على حامل $\rho_\varepsilon$ ، ومنه $f_\varepsilon(x) = \abs x$ بالضبط (إذ يلغي التناظر التصحيح). وبجوار $0$ ، يكلّف التنعيم بالضبط

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

أي إن خطأ التقريب محصور في جوار السويّة $\varepsilon$ للشذوذ، وهو من حجمه. وفي الوقت نفسه $f_\varepsilon'' \geq 0$ في كل مكان (لأن $f$ محدّبة، والالتفاف مع $\rho_\varepsilon \geq 0$ يحفظ التحدّب)، مع $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : فالمشتقة الثانية نتوءٌ كتلته $2$ مضغوطٌ في عرض $O(\varepsilon)$ ، ومنه $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . فالتنعيم مقايضة: خطأ منتظم من رتبة $O(\varepsilon)$ مقابل انفجار المشتقة $O(\varepsilon^{-1})$ — وهو سعر الصرف الدقيق الذي يصوغه التحليل الكمّي (متراجحات الاستيفاء، ودائرة الأفكار في المسألة 12.1).

اقرأ في الفصل ←