मृदुकारक क्या है?

उदाहरण 12.10 ($\abs x$ का मृदुकरण, दरों सहित)

$\R$ पर $f(x) = \abs x$ लीजिए (जो स्थानीय रूप से $L^1$ है; प्रमेय प्रत्येक परिबद्ध खिड़की पर लागू होती है) और कोई सममित मृदुकारक $\rho_\varepsilon$। तब

$\mathcal C^\infty$ है; और मोड़ से दूर कुछ नहीं होता: $\abs x \geq \varepsilon$ के लिए $\rho_\varepsilon$ के आलंब पर $\abs{x - y}$ $x$ में रैखिक है, अतः ठीक-ठीक $f_\varepsilon(x) = \abs x$ (सममिति संशोधन को समाप्त कर देती है)। $0$ के निकट चिकनाई की कीमत ठीक

है — अर्थात् आसन्नन त्रुटि एकलता के $\varepsilon$-प्रतिवेश तक सीमित रहती है और उसी के आकार की होती है। साथ ही सर्वत्र $f_\varepsilon'' \geq 0$ ($f$ उत्तल है, और $\rho_\varepsilon \geq 0$ के साथ संवलन उत्तलता को सुरक्षित रखता है), जिसमें $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: द्वितीय अवकलज द्रव्यमान $2$ की एक उभार है जिसे चौड़ाई $O(\varepsilon)$ में दबा दिया गया है, अतः $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$। चिकनाई एक सौदा है: एकसमान त्रुटि $O(\varepsilon)$ के बदले अवकलज का विस्फोट $O(\varepsilon^{-1})$ — यही वह ठीक विनिमय दर है जिसे मात्रात्मक विश्लेषण (अंतर्गणन असमिकाएँ, समस्या 12.1 के विचार-मंडल) औपचारिक रूप देता है।