¿Qué es Núcleos regularizantes? — Matemáticas

Definición 12.8 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 12 — Los espacios Lp

La función

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

con $c$ normalizando $\int\rho = 1$ , es $\mathcal C^\infty$ en $\R^d$ : la clave es que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ es $\mathcal C^\infty$ en $\R$ , con todas sus derivadas nulas en $0^+$ , iguales a $0$ (cada derivada es $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para cierto polinomio $P$ , que tiende a $0$ ; inducción). Para $\varepsilon > 0$ , póngase $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : de soporte en $\bar B(0, \varepsilon)$ y todavía de integral $1$ .

Ejemplos

Ejemplo 12.10 (Regularizar $\abs x$ , con velocidades)

Tómese $f(x) = \abs x$ en $\R$ (localmente $L^1$ ; el teorema se aplica en toda ventana acotada) y un núcleo regularizante simétrico $\rho_\varepsilon$ . Entonces

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

es $\mathcal C^\infty$ ; lejos del pico no pasa nada: para $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ es lineal en $x$ sobre el soporte de $\rho_\varepsilon$ , luego $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exactamente (la simetría anula la corrección). Cerca de $0$ , el suavizado cuesta exactamente

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

el error de aproximación queda confinado al entorno de tamaño $\varepsilon$ de la singularidad y es de su tamaño. Entretanto $f_\varepsilon'' \geq 0$ en todas partes ( $f$ es convexa, y la convolución contra $\rho_\varepsilon \geq 0$ conserva la convexidad), con $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : la derivada segunda es una joroba de masa $2$ comprimida en una anchura $O(\varepsilon)$ , de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . El suavizado es un trueque: error uniforme $O(\varepsilon)$ frente a explosión de la derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — el tipo de cambio exacto que el análisis cuantitativo (desigualdades de interpolación, el círculo de ideas del Problema 12.1) formaliza.

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